【正文】 根據(jù)題意 p1＝ P ( ξ ＝ 2) ＝ (1 － q1)C12(1 － q2) q2＝ 2 ＝ ， p2＝ P ( ξ ＝ 3) ＝ q1(1 － q2)2＝ (1 － )2＝ ， p3＝ P ( ξ ＝ 4) ＝ (1 － q1) q22＝ 2＝ ， p4＝ P ( ξ ＝ 5) ＝ q1q2＋ q1(1 － q2) q2 ＝ ＋ ＝ . 因此 Eξ ＝ 0 3 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋5 ＝ . ( 3 ) 用 C 表示事件 “ 該同學(xué)選擇第一次在 A 處投，以后都在 B 處投，得分超過 3 分 ” ，用 D 表示事件 “ 該同學(xué)選擇都在 B 處投，得分超過 3 分 ” ，則 P ( C ) ＝ P ( ξ ＝ 4) ＋ P ( ξ ＝ 5) ＝ P3＋ P4＝ 0 . 4 8 ＋ 0 . 2 4 ＝ 0 . 7 2 . P ( D ) ＝ q22＋ C12q2(1 － q2) q2＝ 0 . 82＋ 2 0 . 8 0 . 2 0 . 8 ＝0 . 8 9 6 . 故 P ( D ) P ( C ) ． 即該同學(xué)選擇都在 B 處投 籃得分超過 3 分的概率大于該同學(xué)選擇第一次在 A 處投以后都在 B 處投得分超過 3分的概率． 探究提高 ( 1 ) 要讀懂分布列、用好分布列的性質(zhì)． ( 2 )當一個事件的概率比較難求時，可考慮事件的對立事件． 變式訓(xùn)練 3 某中學(xué)組建了 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五個不同的社團組織，為培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛好，要求每個學(xué)生必須參加，且只能參加一個社團．假定某班級的甲、乙、丙三名學(xué)生對這五個社團的選擇是等可能的． ( 1 ) 求甲、乙、丙三名學(xué)生參加五個社團的所有選法種數(shù)； ( 2 ) 求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加同一社團的概率； ( 3 ) 設(shè)隨機變量 ξ 為甲、乙、丙這三個學(xué)生參加 A 社團的人數(shù)，求 ξ 的分布列與數(shù)學(xué)期望． 解 ( 1) 甲、乙、丙三名學(xué)生每人選擇五個社團的方法數(shù)是 5種， 故共有 5 5 5 ＝ 125( 種 ) ． ( 2) 三名學(xué)生選擇三個不同社團的概率是A3553 ＝1225. ∴ 三名學(xué)生中至少有兩人選擇同一個社團的概率為 1 －1225＝1325. ( 3 ) 由題意 ξ ＝ 0 , 1 , 2 , 3 . P ( ξ ＝ 0) ＝4353 ＝641 2 5； P ( ξ ＝ 1) ＝C13 A4＋ B3 B ) ＝ P ( A ) A4 B C ) ＝ P ( A )1414廣東 ) 已知隨機變量 X 服從正態(tài)分布 N ( 3 , 1 ) ， 且 P (2 ≤ X ≤ 4) ＝ 0 . 6 8 2 6 ，則 P ( X 4 ) ＝ ( ) A ． 0 . 1 5 8 8 B ． 0 . 1 5 8 7 C ． 0 . 1 5 8 6 D ． 0 . 1 5 8 5 解析 由于 X 服從正態(tài)分布 N ( 3 , 1 ) ， 故正態(tài)分布曲線的對稱軸為 X ＝ 3. 所以 P ( X 4 ) ＝ P ( X 2 ) ， 故 P ( X 4 ) ＝1 － P ( 2 ≤ X ≤ 4 )2＝ 0 . 1 5 8 7 . B 3 ．甲射擊命中目標的概率是12，乙命中目標的概率是13， 丙命中目標的概率是14. 現(xiàn)在三人同時射擊目標，則目標被擊中的概率為 ( ) A.34 B .23 C.45 D .710 解析 設(shè)甲命中目標為事件 A ，乙命中目標為事件 B ，丙命中目標為事件 C ，則目標被擊中的事件可以表示為A ＋ B ＋ C ，即擊中目標表示事件 A 、 B 、 C 中至少有一個發(fā)生． ∴ P ( A B4) ＝ P ( A3) P ( A4) ＋ P ( B3) P ( B4) ＝ 0 . 6 0 . 6 ＋ 0 . 4 0 . 4 ＝ 0 . 5 2 . P ( ξ ＝ 3) ＝ 1 － P ( ξ ＝ 2) ＝ 1 － 0 . 5 2 ＝ 0 . 4 8 . ∴ ξ 的分布列為 ξ 2 3 P 0 . 5 2 0 . 4 8 ∴ Eξ ＝ 2 P ( ξ ＝ 2) ＋ 3 P ( ξ ＝ 3) ＝ 2 0 . 5 2 ＋ 3 0 . 4 8 ＝ 2 . 4 8 . 探究提高 ( 1 ) 求離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機變量 取每一個值所表示的具體事件，然后綜合應(yīng)用各類求概率的公式，求出概率． ( 2 ) 求隨機變量的期望和方差的關(guān)鍵是正確求出隨機變量的分布列，若隨機變量服從二項分布，則可直接使用公式求解． 變式訓(xùn)練 2 口袋里裝有大小相同的 4 個紅球和 8 個白球，甲、乙兩人依規(guī)則從袋中有放回地摸球，每次摸出一個，規(guī)則如下： ① 若一方摸出一個紅球，則此人繼續(xù)進行下一次摸球；若一方摸出一個白球，則換成對方進行下一次摸球； ② 每一次摸球彼此相互獨立，并約定由甲開始進行第一次摸球．在前三次的摸球中分別求： ( 1 ) 乙恰好摸到一次紅球的概率； ( 2 ) 甲至少摸到一次紅球的概率； ( 3 ) 甲摸到紅球的次數(shù) ξ 的分布列及數(shù)學(xué)期望． 解 記 “ 甲摸球一次摸出紅球 ” 為事件 A ， “ 乙摸球一次摸出紅球 ” 為事件 B ，則 P ( A ) ＝ P ( B ) ＝44 ＋ 8＝13， P ( A ) ＝ P ( B ) ＝23，且事件 A ， B 相互獨立． ( 1 ) 在前三次摸球中，乙恰好摸到一次紅球的概率為 P ′ ＝ P ( A A B ) ＋ P ( A B B ) ＝132313＋231323