高三數(shù)學(xué)均值不等式(留存版)
【正文】 積有最大值。 2baab? ≥證明：因為 ab0，所以 ， 根據(jù)均值不等式得 0 , 0baab??22b a b aa b a b? ? ?≥即 2baab? ≥當(dāng)且僅當(dāng) 時，即 a2=b2時式中等號成立， baab?因為 ab0，即 a， b同號，所以式中等號成立的條件是 a=b. 例 2．（ 1）一個矩形的面積為 100m2，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？ （ 2）已知矩形的周長是 36m，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的面積最大？最大面積是多少？ 分析：在（ 1）中，矩形的長與寬的乘積是一個常數(shù)，求長與寬的和的 2倍的最小值； 在（ 2）中，矩形的長與寬的和的 2倍是一個常數(shù)，求長與寬的乘積的最大值。 為 a， b 2ab?把 看做兩個 正數(shù) a， b 的等差中項， ab 看做 正數(shù) a， b的等比中項， 那么上面不等式可以敘述為： 兩個正數(shù)的等差中項 不小于 它們的等比中項。 32xx?2 32x ?由于 x0，所以 ，式中等號成立， 62x ?因此 ，此時 。新課標(biāo)人教版課
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