【正文】 ? 是定向曲 線 , Σ? 的正向與 Σ的正側(cè)法向量符合右手法則 。 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) . 一個(gè)空間區(qū)域內(nèi) 其邊界 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度 15 例 1 計(jì)算曲線積分 其中 ? 為曲線 ?????????0,2222zyxRzyxR Γ? ?????Γ zxyzxy ,d)3(d)2()d1(若從 x軸正向看過去 , ? 為取逆時(shí)針方向 . 解 設(shè) ?為 ? 所圍的圓盤 , ?所在的曲面方程為 ,0??? zyx取上側(cè) , 其單位法向量為 ??????? 31,31,31按 斯托克斯公式 , ),c os,c os,( c os ???zxyOn? 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度 16 SRQPzyxdc osc osc os?? ???????????? ??? zRyQxP ddd?原式SxzyzyxΣd321313131?????????????????? 31,31,31)c o s,c o s,( c o s ???SΣd3 ???? .π3 2R??R ΓzxyOn?設(shè) ?為 ? 所圍的圓盤 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度 17 求力 ),( xzyF ?? 沿有向閉曲線 ? 所作的功 , 其中 ? 為平面 x + y + z = 1 被三個(gè)坐標(biāo)面所截成三 ? ??? zxyzxy ddd3?? AB zx d3 ? ?? 10 d)1(3 zz .23?從 z軸正向看去沿順時(shí)針方向 . 例 2 角形的整個(gè)邊界 , 解 ? ??? Γ zxyzxy dddxyzOABCAB? ??? Γ zRyQxPW ddd 利用對(duì)稱性 法一 化為參變量的定積分 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度 18 求力 ),( xzyF ?? 沿有向閉曲線 ? 所作的功 , 其中 ? 為平面 x + y + z = 1 被三個(gè)坐標(biāo)面所截成 法二 從 z軸正向看去沿順時(shí)針方向 . 例 2 三角形的整個(gè)邊界 , 解 xyzOABC利用 斯托克斯公式 ? ??? zRyQxP dddSRQPzyxdc osc osc os?? ???????????設(shè) 三角形區(qū)域?yàn)?? , 則 n?? ??? ? zxyzxyW ddd?????zyx ??????Sd.23????xyDyx dd3331z31 311??? zyxyxS dd3d ?)1,1,1(31?n??????? Sd)3(31xy xyO 11?? yxxyD1方向向上 , ? 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度 19 解 ???????????xzyzyxyxxzzy dddddd法三 按 斯托克斯公式 , 有 ?? ????Σyxxzzy dddddd求力 ),( xzyF ?? 沿有向閉曲線 ? 所作的功 , 其中 ? 為平面 x + y + z = 1 被三個(gè)坐標(biāo)面所截成 從 z軸正向看去沿順時(shí)針方向 . 例 2 三角形的整個(gè)邊界 , ? ??? ? zxyzxyW ddd設(shè) 三角形區(qū)域?yàn)?? , ABCn?? 方向向上 , xyzO 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度 20 xyO111?? yx???? yx dd)3(.23?213??xyD??? ????Σyxxzzy dddddd1: ??? zyx平面?xy