【正文】 一個(gè)交點(diǎn).②當(dāng)Δ＞0,即k＜,又k≠177。解：由設(shè)橢圓方程為設(shè) 又 兩式相減，得 又即將由得解得 故所有橢圓方程【例3】 過點(diǎn)(1，0)的直線l與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，直線y=x過線段AB的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，試求直線l與橢圓C的方程.解法一：由e=,得,從而a2=2b2,c=b.設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓上.則x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,兩式相減得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,設(shè)AB中點(diǎn)為(x0,y0),則kAB=－,又(x0,y0)在直線y=x上，y0=x0,于是－=－1,kAB=－1,設(shè)l的方程為y=－x+1.右焦點(diǎn)(b,0)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為(x′,y′),由點(diǎn)(1,1－b)在橢圓上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=.∴所求橢圓C的方程為 =1,l的方程為y=－x+1.解法二：由e=,從而a2=2b2,c=b.設(shè)橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x－1),將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,則x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－.直線l：y=x過AB的中點(diǎn)(),則,解得k=0，或k=－1.若k=0,則l的方程為y=0,焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)就是F點(diǎn)本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=－1，直線l的方程為y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.解法3：設(shè)橢圓方程為直線不平行于y軸，否則AB中點(diǎn)在x軸上與直線中點(diǎn)矛盾。2a,｜F2F2｜＞2a}.點(diǎn)集{M｜ ｜MF｜=點(diǎn)M到直線l的距離}.圓 形標(biāo)準(zhǔn)方程+=1(a＞b＞0)=1(a＞0,b＞0)y2=2px(p＞0)頂 點(diǎn)A1(a,0),A2(a,0)。+kx=hy=k拋物線(yk)2=2p(xh)(+h,k)x=+hy=k(yk)2=2p(xh)(+h,k)x=+hy=k(xh)2=2p(yk)(h, +k)y=+kx=h(xh)2=2p(yk)(h, +k)y=+kx=h二、知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)提示(一)曲線和方程，由已知條件列出曲線的方程，曲線的交點(diǎn)說明 在求曲線方程之前必須建立坐標(biāo)系，然后根據(jù)條件列出等式進(jìn)行化簡(jiǎn) .特別是在求出方程后要考慮化簡(jiǎn)的過程是否是同解變形，是否滿足已知條件，只有這樣求 ，要求會(huì)判斷 曲線間有無交點(diǎn)，會(huì)求曲線的交點(diǎn)坐標(biāo).三、 考綱中對(duì)圓錐曲線的要求：考試內(nèi)容：. ；. ；. ；考試要求：. (1)掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，理解橢圓的參數(shù)方程；. (2)掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；. (3)掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；. (4)了解圓錐曲線的初步應(yīng)用。x2=m2,∴|MN|=4.點(diǎn)A到直線l的距離為d=.∴S△=2(5+m),從而S△2=4(1－m)(5+m)2=2(2－2m)(2)若Q(1，1)，試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在.解：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=1,與曲線C有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0………………(*)(ⅰ)當(dāng)2－k2=0,即k=177。,故當(dāng)k＜－或－＜k＜或＜k＜時(shí)，方程(*)有兩不等實(shí)根，l與C有兩個(gè)交點(diǎn).③當(dāng)Δ＜0，即k＞時(shí)，方程(*)無解，l與C無交點(diǎn).綜上知：當(dāng)k=177。(1)求過P(1，2)點(diǎn)的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒有交點(diǎn)。n= ②由①、②式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1.【例10】 如圖所示，拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求△AMN面積最大時(shí)直線l的方程，并求△AMN的最大面積.解：由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,－5＜m＜0.由方程組,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0……………①∵直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N，∴方程①的判別式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為(－5，0)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=4－2m，x1方法二:同上得 設(shè)點(diǎn)M (3cosα，2sinα)，N (3cosβ,2sinβ) 則有由上式消去α并整理得, 由于 ∴ ， 解得為所求. 方法三：設(shè)法求出橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)D的距離的最大值為5，最小值為1.進(jìn)而推得的取值范圍為。+kx=hy=k雙曲線=1(177。c+h,k)x=177。k2=：直線DE過定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn).解：（1）設(shè)【例8】 已知曲線，直線l過A（a，0）、B（0，－b）兩點(diǎn)，原點(diǎn)O到l的距離是（Ⅰ）求雙曲線的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)B作直線m交雙曲線于M、N兩點(diǎn)，若，求直線m的方程.解：（Ⅰ）依題意， 由原點(diǎn)O到l的距離為，得 又 故所求雙曲線方程為 （Ⅱ）顯然直線m不與x軸垂直，設(shè)m方程為y=kx－1，則點(diǎn)M、N坐標(biāo)（）、（）是方程組 的解消去y，得 ①依設(shè)，由根與系數(shù)關(guān)系，知 == = ∴=－23，k=177。解：（1）∵ ∴=0∴ 得∴P點(diǎn)的軌跡方程為（2）考慮方程組 消去y，得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3=0(*)顯然1－3k2≠0 △=（6km）2－4(－3m2－3)=12(m2+1)－3k20設(shè)x1,x2為方程*的兩根，則 故AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)∴線段AB的垂直平分線方程為：將D(0，－1)坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)得：4m=3k2－1故m、k滿足，消去k2得：m2－4m0解得：m0或m4又∵4m=3k2－1－1 ∴m－故m.【直線與圓錐曲線練習(xí)】一、選擇題1．斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為( ) B. C. D. 2．拋物線y=ax2與直線y=kx+b(k≠0)交于A、B兩點(diǎn)，且此兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x3,則恒有( )=x1+x2 =x1x3+x2x3 +x2+x3=0 +x2x3+x3x1=0二、填空題3．已知兩點(diǎn)M(1，)、N(－4，－)，給出下列曲線方程：①4x+2y－1=0,②x2+y2=3,③+y2=1,④－y2=1,在曲線上存在點(diǎn)P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是_________.4．正方形ABCD的邊AB在直線y=x+4上，C、D兩點(diǎn)在拋物線y2=x上，則正方形ABCD的面積為_________.5．在拋物線y2=16x內(nèi)，通過點(diǎn)(2，1)且在此點(diǎn)被平分的弦所在直線的方程是_________.三、解答題6．已知拋物線y2=2px(p＞0),過動(dòng)點(diǎn)M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，且|AB|≤2p.(1)求a的取值范圍.(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求△NAB面積的最大值.7．已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)AA2在x軸上，離心率e=的雙曲線過點(diǎn)P(6，6).(1)求雙曲線方程.(2)動(dòng)直線l經(jīng)過△A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)M、N，問：是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結(jié)論.8．已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點(diǎn)，且都以點(diǎn)A(，0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)A1與A點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱. (1)求雙曲線C的方程.(2)設(shè)直線l過點(diǎn)A，斜率為k,當(dāng)0＜k＜1時(shí)，雙曲線C的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線l的距離為，試求k的值及此時(shí)B點(diǎn)的坐標(biāo).直線與圓錐曲線參考答案一、：弦長(zhǎng)|AB|=≤.答案：C：解方程組,得ax2－kx－b=0,可知x1+x2=,x1x2=－,x3=－,：B二、：點(diǎn)P在線段MN的垂直平分線上，判斷MN的垂直平分線于所給曲線是否存在交點(diǎn).答案：②③④：設(shè)C、D所在直線方程為y=x+b,代入y2=x,利用弦長(zhǎng)公式可求出|CD|的長(zhǎng)，利用|CD|的長(zhǎng)等于兩平行直線y=x+4與y=x+b間的距離，求出b的值，再代入求出|CD|：18或50：設(shè)所求直線與y2=16x相交于點(diǎn)A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得y12=16x1,y22=16x2,兩式相減得，(y1+y2）(y1－y2)=16(x1－x2).即kAB=8.故所求直線方程為y=8x－：8x－y－15=0三、：(1)設(shè)直線l的方程為：y=x－a,代入拋物線方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2又∵p＞0,∴a≤－.(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中點(diǎn) C(x,y),由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,則有x==p.∴線段AB的垂直平分線的方程為y－p=－(x－a－p),從而N點(diǎn)坐標(biāo)為(a+2p,0）點(diǎn)N到AB的距離為從而S△NAB=當(dāng)a有最大值－時(shí)，S有最大值為p2.：(1)如圖，設(shè)雙曲線方程為=,解得a2=9,b2=12.所以所求雙曲線方程為=1.(2)P、AA2的坐標(biāo)依次為(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G的坐標(biāo)為(2，2）假設(shè)存在直線l，使G(2，2)平分線段MN，設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2).則有，∴kl=∴l(xiāng)的方程為y= (x－2)+2,由,消去y,整理得x2－4x+28=0.∵Δ=16－428＜0,∴所求直線l不存在.：(1)設(shè)雙曲線的漸近線為y=kx,由d==1,解得k=177。n= ②由①、②式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1.【例18】 如圖所示，拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求△AMN面積最大時(shí)直線l的方程，并求△AMN的最大面積.解：由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,－5＜m＜0.由方程組,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0……………①∵直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N，∴方程①的判別式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為(－5，0)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=4－2m，x1解：（1）∵ ∴=0∴ 得∴P點(diǎn)的軌跡方程為（2）考慮方程組 消去y，得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3=0(*)顯然1－3k2≠0 △=（6km）2－4(－3m2－3)=12(m2+1)－3k20設(shè)x1,x2為方程*的兩根，則 故AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)∴線段AB的垂直平分線方程為：將D(0，－1)坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)得：4m=3k2－1故m、k滿足，消去k2得：m2－4m0解得：m0或m4又∵4m=3k2－1－1 ∴m－故m.【直線與圓錐曲線練習(xí)】一、選擇題1．斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的最大值為( ) B. C. D. 2．拋物線y=ax2與直線y=kx+b(k≠0)交于A、B兩點(diǎn)，且此兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x3,則恒有( )=x1+x2 =x1x3+x2x3+x2+x3=0 +x2x3+x3x1=0二、填空題3．已知兩點(diǎn)M(1，)、N(－4，－)，給出下列曲線方程：①4x+2y－1=0,②x2+y2=3,③+y2=1,④－y2=1,在曲線上存在點(diǎn)P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是_________.4．正方形ABCD的邊AB在直線y=x+4上，C、D兩點(diǎn)在拋物線y2=x上，則正方形ABCD的面積為_________.5．在拋物線y2=16x內(nèi)，通過點(diǎn)(2，1)且在此點(diǎn)被平分的弦所在直線的方程是_________.三、解答題6．已知拋物線