【正文】 22222??????????????????? 830 . 7 5 5 9 2 8 9 5||e|| 2 ?例 已知實(shí)測數(shù)據(jù)表 試用最小二乘法求多項(xiàng)式曲線不此數(shù)據(jù)組擬合 . i 1 2 3 4 5 xi 2 4 6 8 10 yi 6 12 18 24 30 解：令 xaay10 ???????????????????????51iii51i2i151ii051ii51ii10yx xaxayxa 5a，則正觃方程組為： 同學(xué)們自己計(jì)算，求出a0 ,a1 ???????662 2 a3a186a a10103a0a 10 ?? ，3xy ?0)]f ( x)(x[||e||n0i2ii22 ??? ???經(jīng)過計(jì)算，得到： 解之，得： 所求直線方程為 : 誤差 : （ 4）可化為線性擬合的非線性擬合 ? 有些非線性擬合曲線可以通過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q轉(zhuǎn)化為線性曲線，從而用線性擬合進(jìn)行處理， ? 這部分本課程丌做要求 連續(xù)函數(shù)最佳平方逼近和對(duì)數(shù)據(jù)的曲線擬合的區(qū)別 1. 連續(xù)函數(shù) f(x)?C[a, b]最佳平方逼近 ? 在 [a, b]上，用 Span{ φ 1(x), φ 2(x), …, φ n(x) }中的函數(shù) φ(x)（通常是多項(xiàng)式）逼近連續(xù)函數(shù) f(x)。 作擬合直線 , 該直線丌是通過所有的數(shù)據(jù)點(diǎn) ,而是使偏差平方和 m,2, 1,i),y,(x ii ??xaay (x ) 10 ??)y,(x ii?????m1i2ii1010 )yxa(a)a,F ( a為最小 ， 其中每組數(shù)據(jù)不 擬合曲線的偏差 為 ii10ii yxaay)y (x ????m,1 , 2 ,i ??（ 1）直線擬合 … … 這是關(guān)于 a0 ， a1 的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù) 即得如下正觃方程組 ?????????????????????m1iiim1i2i1m1ii0m1iim1ii10yx xaxayxa ma() 根據(jù)最小二乘原理 ， 應(yīng)取 和 使 有極小值 ， 故 和 應(yīng)滿足下列條件： 0a 1a )a,F (a 100a 1a???????????????????????0x)yxa(a2a)a,F (a0)yxa(a2a)a,F (aim1iii10110m1iii10010例 設(shè)有某實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下： 用最小二乘法求以上數(shù)據(jù)的擬合函數(shù) 。 即： 整理上式，得 1。 ? 最佳平方逼近 ：使用多項(xiàng)式 s(x)對(duì)連續(xù)函數(shù) f(x)進(jìn)行平方逼近。上的最佳平方逼近函數(shù) ( x )為 f (x ) 在Φ*則稱sdxs (x ) ]ρ ( x )[ f ( x )m i ndx( x )]*sρ ( x )[ f ( x )Φ ，滿足(x)*在s 存 ρ ( x ) 為權(quán)函數(shù)，若 b ] ，C [ a,},s p an{Φ b ] ,C [ a,設(shè)f (x )ba2Φs ( x )ba2n0?? ?????????? ?連續(xù)函數(shù)的在線性空間最佳平方逼近 集合。 x x0 x1 x2 … xn y y0 y1 y2 … yn y=f(x) 要求出一個(gè)比較簡單的函數(shù) ( x )y ??丌要求函數(shù) 完全通過所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，只要求所得的近似曲線 能反映數(shù)據(jù)的基本趨勢。 x=5, y= ????n0i2ii22 )]f ( x)(x[||e|| ?20 . 5 0 0 0 x2 . 7 8 5 7 x4 . 7 1 4 3y ???x=0, y=。 i 1 2 3 4 5 6 xi 0 1 2 3 4 5 yi 5 2 1 1 2 3 解：將已給數(shù)據(jù)點(diǎn)描在坐標(biāo)系中，可以 看出這些點(diǎn)接近一條拋物線。 為此，希望從給定的數(shù)據(jù) (xi,yi)出發(fā) ,構(gòu)造一個(gè)近似函數(shù) ,丌要求函數(shù) 完全通過所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，只要求所得的近似曲線能反映數(shù)據(jù)的基本趨勢，如圖 所示。 則可定義內(nèi)積：上的權(quán)函數(shù),b]ρ ( x ) 為[a,b ] ,C [ a,g ( x )設(shè)f (x ) , ?1 / 2ba2212 (x )d xρ (x )ff)(f ,||f (x )|| ???????? ?f ( x ) g ( x ) d xρ ( x )g)( f ,ba????? ba f ( x ) g ( x ) d xg)( f ,1,當(dāng)ρ1 / 2ba22 ( x ) d xf||f ( x )|| 則 1，若ρ ???????? ?由內(nèi)積可以定義范數(shù) (度量 )： 內(nèi)積的定義： 167