【正文】 最值問題是三角中考試頻率最高的重點內(nèi)容之一 , 需要綜合運用三角函數(shù)概念、圖象、性質(zhì)以及誘導(dǎo)公式、同角三函數(shù)基本關(guān)系式、三角變換等 , 也是函數(shù)內(nèi)容的交匯點 , 常見方法有 : 、余弦函數(shù)以及 asin?+bcos?, 可考慮利用三角函數(shù) 的有界性 . 二、重點解析 三、知識要點 y=asin2x+bsinx+c 或 y=acos2x+bsinx+c 的函數(shù)可通過適當(dāng)變換、配方求解 . sinx+cosx, sinxcosx 在關(guān)系式中時 , 可考慮換元法處理 . 常見的三角換元 x2+y2=1, 可設(shè) x=cos?, y=sin?。 2 2 4 ? 1 2 若 a 2 , 則當(dāng) t= 2 , 即 x=2k?+ (k?Z) 時 , 4 5? 1 2 f(x) 取最小值 a2 2 a+ . 令 t=sinx+cosx, 則 t= 2 cos(x ) 且 t?[ 2 , 2 ], 4 ? ? ?[0, ], 且 cos2?+2msin?2m20 恒成立 , 求 m 的取值范圍 . 2 ? 解法 1 由已知 0≤ sin?≤ 1 且 1sin2?+2msin?2m20 恒成立 . 令 t=sin?, 則 0≤ t≤ 1 且 1t2+2mt2m20 恒成立 . 即 f(t)=t22mt+2m+1=(tm)2m2+2m+10 對 t?[0, 1] 恒成立 . 故可討論如下 : (1)若 m0, 則 f(0)0. 即 2m+10. 解得 m , 1 2 (2)若 0≤ m≤ 1, 則 f(m)0. 即 m2+2m+10. 亦即 m22m10. 解得 : 1 2m1+ 2 , ∴ 0≤ m≤ 1。 4 a 1 2 解得 a=3 或 2. 均不合題意 , 舍去 。 2 ? {x | x=2k?+ , k?Z}. 2 ? 當(dāng) t=3 時 , ymax=f(t)max= , 此時 , sinx=1, x 的集合為 : 8 3 y=sin2x+acosx+ a (0≤ x≤ )的最大值為 1, 求 a的值 . 2 ? 5 8 3 2 解 : 由已知 y=cos2x+acosx+ a 5 8 1 2 =(cosx )2+ + a . 4 a2 a 2 5 8 1 2 令 t=cosx, 則 y=(t )2+ + a (0≤ t≤ 1). 4 a2 a 2 5 8 1 2 討論如下 : ② 若 0≤ ≤ 1, 則 t= 時 , 由題設(shè) ymax= + a =1. a 2 a 2 4 a2 5 8 1 2 解得 a=4(舍去 )或 a= . 3 2 解得 a= (舍去 ). 5 12 ① 若 0, 則 t=0 時 , 由題設(shè) ymax= a =1. 5 8 1 2 a 2 ③ 若 1, 則 t=1 時 , 由題設(shè) ymax= a =1. 3 2 a 2 8 13 解得 a= (舍去 ). 13 20 綜上所述 a= . 3 2 4sin2xcos4xa=0 恒有實數(shù)解 , 求 a 的取值范圍 . 解法 1 從方程有解的角度考慮 . 原方程即為 : 2cos22x+2cos2x3+a=0. 令 t=cos2x, 則 |t|≤ 1, 且 2t2+2t3+a=0 恒有解 . 解得 : 1≤ a≤ . 7 2 解法 2 從二次函數(shù)圖象及性質(zhì)考慮 . 問題轉(zhuǎn)化為 : “a 為何值時 , f(t)=2t2+2t+a3 的圖象與橫軸至少有一個交點的橫坐標(biāo)在 [1, 1] 內(nèi) .” ∵ f(t) 圖象的對稱軸為直線 t= , 1 2 △ =4(72a)≥ 0, 2+ 4(72a) 4 | |≤ 1, ∴ △ =4(72a)