【正文】 0 得 m≤ x mn 。 (2)若 f(x) 在區(qū)間 [2m1, m+1] 遞增 , 求 m 的取值范圍 . 導數的應用舉例 4 解 : (1)∵ 曲線 y=f(x)=ax3+bx2+cx+d 過原點 , ∴ f(0)=0?d=0. ∴ f(x)=ax3+bx2+cx, f?(x)=3ax2+2bx+c. ∵ 函數 f(x)=ax3+bx2+cx 在 x=0 處取得極值 , ∴ f?(0)=0?c=0. ∵ 過點 P(1, 2) 的切線斜率為 f?(1)=3a2b, 而 曲線 f(x)在 點 P 的切線與直線 y=2x 的夾角為 45?, 且傾角為鈍角 , 解得 f?(1)=3. 又 f(1)=2, ∴ | |=1 且 f?(1)0. 2f?(1) 1+2f?(1) ∴ 3a2b=3 且 a+b=2. 解得 a=1, b=3. ∴ f(x)=x3+3x2. 已知函數 f(x)=ax3+bx2+cx+d 在 x=0 處取得極值 , 曲線 y=f(x) 過原點和點 P(1, 2). 若曲線 f(x) 在點 P 處的切線與直線 y=2x的夾角為 45?, 且傾角為鈍角 . (1)求 f(x) 的解析式 。疑點 方法 【 解題回顧 】 看似繁雜的文字題 ， 其背景不過是兩個一次函數 ， 當然因 x∈ N*， 故實際上是兩個等差數列 . (父親 、 母親 、 孩子 )去某地旅游 ， 有兩個旅行社同時發(fā)出邀請 ， 且有各自的優(yōu)惠政策 ， 甲旅行社承諾：如果父親買一張全票 ， 則其家庭成員 (母親與孩子 ， 不論孩子多少與大 )均可享受半價；乙旅行社承諾：家庭旅行算團體票 ， 按原價的 23計算 ， 這兩家旅行社的原價是一樣的 ， 若家庭中孩子數不同 (至少一個 )， 試分別列出兩家旅行社優(yōu)惠政策實施后的孩子個數為變量的收費表達式 ， 比較選擇哪一家旅行社更優(yōu)惠 ? (1)當 a＝ 1/2時 ， 求函數 f(x)的最小值； (2)若對任意 x∈ [1， +∞)， f(x)＞ 0恒成立 ， 試求實數 a的取值范圍 . ? ? ? ??????? ， 122 xx axxxf【 解題回顧 】 本題可借助于導數 來判斷函數的最小值或單調性 . 211xx ????????? ， 要求畫面面積為 4840cm2， 畫面的寬與高的比為 λ(λ＜ 1) ， 畫面的上 、 下各留 8cm空白 ， 左 、 右各留 5cm空白 .怎樣確定畫面的高與寬尺寸 ， 能使宣傳畫所用紙張面積最小 ? 【 解題回顧 】 應用基本不等式求函數最值時 ， 一定要注意 等式成立的充要條件 .另外本題也可借用導數 來求最值 . 211xx ????????? 問每周應生產空調器 、 彩電 、 冰箱各多少臺 ， 才能使產值最高 ?最高產值是多少 ?(以千元為單位 ) ， 決定調整產品生產方案 ， 準備每周 (按 120個工時計算 )生產空調器 、 彩電 、冰箱共 360臺 ， 且冰箱至少生產 60臺 .已知生產家電產品每臺所需工時和每臺產值如下表： 家電名稱 空調器 彩電 冰箱 工時 1/2 1/3 1/4 產值 (千元 ) 4 3 2 【 解題回顧 】 解答本題的思路是：列出關于 x、 y、 z的兩個等式 (① 和 ② )， 將 y和 z用 x表示后代入 s， 使 s成為 x的一次函數 s=x+1080， 討論 s在 x≥30條件下的最大值 . 返回 延伸 (3)在 (2)的條件下 , 是否存在實數 b, 使得函數 g(x)=bx 的圖象與函數 f(x) 的圖象恰有三個交點 , 若存在 , 求出實數 b 的取值范圍 。 由 t?0 得 mn xn. ∴ t(x) 在 [m, mn ) 上是減函數 , 在 [ mn, n) 上是增函數 . ∵ 函數 y=(t1)2 +1 在 [1, +∞ ) 上是增函數 , 2n m ∴ f(x) 在 [m, mn ) 上是減函數 , 在 [ mn, n) 上是增函數 . 導數的應用舉例 8 已知函數 f(x)=( 1)2+( 1)2 的定義域為 [m, n), 且 1≤ mn ≤ 2. (1)討論 f(x) 的單調性 。 (2)求證 : 當 xa0 時 , 恒有 ax . xa 2f(x) 2+f(x) f(x)f(a) x+a 2 都有 lnx 成立 . x+1 2(x1) ∵ 當 xa0 時 , 1, a x ∴ ln . a x a x +1 2( 1) a x ∴ lnxlna . x+a 2(xa) lnxlna xa ∴ , x+a 2 記 h(x)=lnx , x x1 則 h?(x)= x x ( x 1)2 1 2 0, xa f(x)f(a) 即 . x+a 2 ∴ h(x)h(1)=0. ∴ 對任意的 x?(1, +∞ ), 都有 lnx . x x1 xa f(x)f(a) 同理可證 ax . x+a 2 ∴ ax . xa f(x)f(a) 導數的應用舉例 8 已知函數 f(x)=( 1)2+( 1)2 的定義域為 [m, n), 且 1≤ mn ≤ 2. (1)討論 f(x) 的單調性 。 (2)若當 x?[a+1, a+2] 時 , 恒有 |f?(x)|≤ a, 試確定 a的取值范圍 . 1 3 解 : (2)∵ 0a1, ∴ 2aa+1. ∴ f?(x)max=f?(a+1)=2a1, ∴ f?(x)=x2+4ax3a2 在 [a+1, a+2] 上為減函數 . f?(x)min=f?(a+2)=4a4. ∵ 當 x?[a+1, a+2] 時 , 恒有 |f?(x)|≤ a, 即 a≤ f?(x)≤ a 恒成立 . ∴ 4a4≥ a 且 2a1≤ a. 解得