【正文】 型中的幾個統(tǒng)計特征指標 (1) 因子載荷 aij的統(tǒng)計意義 由 Xi = ai1F1 +… + aimFm + εi， 兩邊同乘以 Fj， 再求數(shù)學期望： E(XiFj)=ai1E(F1Fj)+… +aijE(FjFj)+… +aimE(FmFj)+E(εiFj) 從而有 rij = E(XiFj) = aij 即 載荷矩陣中第 i行 ， 第 j列的元素 aij是第 i個變量與第 j個公共因子的相關系數(shù) ， 反映了第 i個變量與第 j個公共因子的相關程度 。 載荷陣 A中的第 j列和 X的第 j個主成分的系數(shù)相差一個倍數(shù) （ j = 1,… ,m） ， 故這個解稱為主成分解 。 221 ?,...,? p??SAS SAS軟件與統(tǒng)計應用教程 (3) 極大似然法 假定公共因子 F和特殊因子 ε服從正態(tài)分布 ， 那么可得到因子載荷陣和特殊因子方差的極大似然估計 ， 設 p維觀測向量 X(1)， ...， X(n)為來自正態(tài)總體 Np(μ,∑)的隨機樣品 ， 則樣品似然函數(shù)為 μ， ∑的函數(shù) L(μ,∑)。 在這個意義下 ， 因子解是不惟一的 。 可以證明 ， 式中回歸系數(shù)的最小二乘估計滿足： Bj = Aj39。 單擊下面的 “ Principal Component Options（ 主成分選項 ） ” 按鈕 ， 打開 “ Principal Component Options”對話框 ， 確認 “ Correlations(Structure)（ 相關 (結構 )） ”復選框被選中 （ 默認狀態(tài) ） ， 單擊 “ OK”按鈕返回； SAS SAS軟件與統(tǒng)計應用教程 兩次單擊 “ OK”按鈕 ， 得到因子分析結果 。102/Cl)、 x7(Na/Cl)兩個指標上的載荷明顯增加 ， 這說明第二公因子是鉀鹽形成的條件的顯示 。 (2) VAR語句 VAR語句用來指定需要分析的數(shù)值變量 。主成分解 39。 SAS SAS軟件與統(tǒng)計應用教程 (3) 因子旋轉(zhuǎn) 為 了 得 到 更 好 的 因 子 解 釋 ， 在 上 面 的 PROC FACTOR語句中再加上一個 ROTATE = PROMAX旋轉(zhuǎn)選項 ， 這樣將在得到主成分解后再進行方差最大正交旋轉(zhuǎn) (VARIMAX)， 并加了一個 REORDER選項使輸出時把原始變量受相同因子影響的放在一起： PROC FACTOR DATA= n = 3 ROTATE = VARIMAX REORDER。 RUN。 PROC PLOT DATA = Out。 RUN。 Var x1 – x8。] [BY 變量列表 。 在數(shù)據(jù)集窗口還可以看到旋轉(zhuǎn)前后的因子得分 。102/Cl) x7(Na/Cl) 1 2 … … … … … … … … 19 20 SAS SAS軟件與統(tǒng)計應用教程 1. 使用 INSIGHT模塊做因子分析的步驟 在 INSIGHT模塊中打開數(shù)據(jù)集 。 SAS SAS軟件與統(tǒng)計應用教程 于是有： Fj = ?j1X1+?j2X2+… +?jpXp (j = 1,2,… ,k) 上式稱為因子得分函數(shù) 。 易知 ， ∑ = AA39。 以上得到的解是近似解 。 由 p個相關變量的觀測數(shù)據(jù)可得到協(xié)差陣的估計 ， 記為 S。 SAS SAS軟件與統(tǒng)計應用教程 ? 因子分析 ? 因子分析的概念與步驟 ? 使用 INSIGHT模塊作因子分析 ? 使用 FACTOR過程進行因子分析 SAS SAS軟件與統(tǒng)計應用教程 因子分析的概念與步驟 1. 因子分析模型 設 p維可觀測的隨機向量 X = (X1， ...， Xp)39。 run。] [PARTIAL 變量列表 。說明第一主成分已經(jīng)具有足夠多的方差貢獻率 ， 可以很好地概括這組數(shù)據(jù) 。 5) 環(huán)境條件 x5， 指客戶的外部因素 。 SAS SAS軟件與統(tǒng)計應用教程 2. 主成分的結果分析 輸出的數(shù)字分析結果有 4個部分：簡單統(tǒng)計量 、 相關系數(shù)矩陣 、 相關系數(shù)矩陣的特征值以及相關系數(shù)矩陣的特征向量 。 = (a1i， a2i， … ， api) 就是相應特征值 ?i所對應的單位特征向量 ti。 其基本思想是設法將原來眾多的具有一定相關性的指標 （ 比如p個指標 ） ， 重新組合成一組新的互不相關的綜合指標來代替原來指標 。 F2是與 F1不相關的 X1， X2， … ， Xp一切線性組合中方差最大的 ， … ， Fp是與 F1， F2， … ， Fp1都不相關的 X1，X2， … ， Xp的一切線性組合中方差最大的 。 系統(tǒng)默認計算相關系數(shù)矩陣的特征值和特征向量 ，單擊 “ OK”按鈕返回 。 2) 能力 x2， 指客戶的償還能力 。 可以看出 ，能力與資本 、 附帶擔保品有著較強的相關性 ， 表明客戶的償還能力與其財務實力 、 財務狀況和抵押資產(chǎn)有著重要的關系 。 VAR 變量列表 。 (2) 執(zhí)行主成分分析的 PRINCOMP過程 對數(shù)據(jù)集 jjfz執(zhí)行主成分分析的 PRINCOMP過程代碼如下： proc prinp data = n = 4 out = w1 outstat = w2。 顯示如圖 620。 ???mjiji ah12222121)()()()( iiimttitimttiti hV a rFV a raFaV a rXV a r ??? ?????? ????SAS SAS軟件與統(tǒng)計應用教程 (3) 公共因子 Fj方差貢獻的統(tǒng)計意義 因子載荷矩陣 A中各列元素的平方和： 稱為公共因子 Fj對 X的貢獻 ， 是衡量 Fj相對重要性的指標 ， qj2越大表明 Fj對 X的貢獻越大 。 即： 2*)?( i?2*2* )?(1)( iih ??????????????????2*2122*2211122*1*)()()(ppppphrrrhrrrh???????RSAS SAS軟件與統(tǒng)計應用教程 計算 R*的特征值和特征向量 ， 取前 m個正特征值λ1*≥λ2*≥… ≥λp* 0， 相應的特征向量為 u1*,u2*,… ,up*， 則有近似分解式： R* = AA39。 T為正交陣 ， 則因子模型可寫為 X = ATT39。 因此 ， 在不同的旋轉(zhuǎn)方法之間進行的選擇必須根據(jù)非統(tǒng)計觀點 ， 通常選擇最容易解釋的旋轉(zhuǎn)模型 。103/Cl) x3(K SAS SAS軟件與統(tǒng)計應用教程 然后 ， 單擊 “ Output”按鈕 ， 在打開的對話框中單擊“ Principal Component Analysis” 復 選 框 下 面 的“ Principal Component Options” 按鈕 ， 打開“ Principal Component Options”對話框 。] [PARTIAL 變量列表 。 PROC SCORE DATA = 原始數(shù)據(jù)集 SCORE = FACTOR過程的輸出數(shù)據(jù)集 OUT = 得分輸出數(shù)據(jù)集 ； VAR 用來計算得分的原始變量集合 ； RUN； SAS SAS軟件與統(tǒng)計應用教程 3. 實例分析 【 例 65】 2022年 31個省市自治區(qū)經(jīng)濟發(fā)展基本情況的八項指標 ， 原始數(shù)據(jù)如表 68所示 。 最后一行給出每個原始變量的共同度 ， 由于變量 x5被兩個因子解釋的信息不夠多 ， 于是考慮選取 3個公因子 。 PROC PRINT DATA=Out。 根據(jù)前兩個因子得分所作的因子得分圖如圖右所示 。 方差最大旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)陣和旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣如圖 636所示 。 SAS SAS軟件與統(tǒng)計應用教程 前兩個主成分解釋了 ％ 的方差 ， 按照缺省的選擇因子個數(shù)的準則 MINEIGEN， 取大于 1的特征值 ， 所以取兩個因子 。 (4) PRIOR語句 PRIOR語句為每一個變量指定一個從 初始共性方差估計值 。 SAS SAS軟件與統(tǒng)計應用教程 回到 INSIGHT數(shù)據(jù)窗口 ， 用鼠標單擊左上角的三角箭頭 ， 在彈出的菜單中選擇 “ Extract”， 打開 “ Extract”對話框 ， 按下 “ Ctrl”鍵 ， 用鼠標選定 ID、 RT RT2和RT3， 如圖 628左所示 ， 單擊 “ OK”按鈕 ， 得到只包含編號及旋轉(zhuǎn)后因子得分的數(shù)據(jù)子集如圖 629右 。 結果顯示 ， 前三個特征值的方差貢獻率依次為：、 、 。 由上式計算出因子變量 Fj的因子值系數(shù) ， 再利用因子得分函數(shù)可算出第 j個因子在各個樣品上的因子得分 。 SAS SAS軟件與統(tǒng)計應用教程 有三種主要的正交旋轉(zhuǎn)法：四次方最大法 、 方差最大法和等量最大法 。 為保證得到唯一解 ， 可附加計算上方便的唯一性條件： A39。39。 SAS SAS軟件與統(tǒng)計應用教程 (2) 變量共同度的統(tǒng)計意義 因子載荷矩陣第 i行的元素平方和： 稱為變量 Xi的共同度 （ i = 1， 2， … ， p） 。 最后輸出的是數(shù)據(jù)集 w1， 其中包含前 4個主成分Prin1～ Prin4的得分 。 N = 要計算的主成分個數(shù)，缺省時全部計算。 由特征向量得出相應的主成分 ， 用少數(shù)幾個主成分代替原始變量 ， 并計算主成分得分 。單擊 “ OK”返回； SAS SAS軟件與統(tǒng)計應用教程 6) 單擊 “ Plots”按鈕 ， 打開 “ Principal Components：Plots”對話框 ， 可以設置圖形輸出 。 單擊數(shù)據(jù)窗口左上角的箭頭 ， 在彈出的菜單中選擇“ Sort（ 排序 ） ” 選項 ， 在打開的對話框中選定排序變量 PCR1， 并單擊 “ Asc/Des”按鈕將其設為降序 （ Des） ，如圖 68所示 。 消除數(shù)據(jù)的量綱有很多方法 ， 常用方法是將原始數(shù)據(jù)標準化 ， 即做如下數(shù)據(jù)變換： 其中 ， ， j = 1， 2， … ， p。 i = 1， 2， … ， p。 SAS SAS軟件與統(tǒng)計應用教程 2. 主成分分析的數(shù)學模型 設有 n個樣品 （ 多元觀測值 ） ， 每個樣品觀測 p項指標（ 變量 ） ： X1， X2， … ， Xp， 得到原始數(shù)據(jù)資料陣： 其中 Xi = (x1i， x2i， … ， xni)39。 ???pkkii1/ ????????pkkmiimG11/)( ??SAS SAS軟件與統(tǒng)計應用教程 (4) 計算主成分得分 計算 n個樣品在 m個主成分上的得分： i = 1， 2， … ， m (5) 標準化 實際應用時 ， 指標的量綱往往不同 ， 所以在主成分計算之前應先消除量綱的影響 。 SAS SAS軟件與統(tǒng)計應用教程 6) 回到 INSIGHT的數(shù)據(jù)窗口 ， 可以看到前兩個主成