【正文】 ]2)[()()( 22rVtftfdtdri ???? ??? ????討論 有外場情況下的定態(tài) Schrodinger 方程 ： E?????????????)()(]2[)()(22rErVtEftfdtdi???????令： ?/~)( iE tetf ?Etiertr ??? ??? )(),( ?于是： V(r)與 t無關(guān)時，可以分離變量 )(]2[)(1)()(1 22rVrtfdtdtfi ???? ??? ????等式兩邊是相互無關(guān)的物理量，故應(yīng)等于與 t, r 無關(guān)的常數(shù) 該方程稱為 定態(tài) Schrodinger 方程， ψ(r) 也可稱為定態(tài)波函數(shù)，或可看作是 t=0時刻 ψ(r,0) 的定態(tài)波函數(shù)。其具體步驟如下： )()(]2[ 22rErV ??? ??? ????????,:,2121nnEEE??? ，本征函數(shù)本征值：]/e x p [)(),( ??? tiErtr nnn ??? ?1|)(| 2 ?? ??? ?? drC nn ?（ 1）列出定態(tài) Schrodinger方程 （ 2）根據(jù)波函數(shù)三個標(biāo)準(zhǔn)條件求解能量 E 的本征值問題，得： （ 3）寫出定態(tài)波函數(shù)即得到對應(yīng)第 n 個本征值 En 的定態(tài)波函數(shù) （ 4）通過歸一化確定歸一化系數(shù) Cn 四、定態(tài)的性質(zhì) 幾率密度流與時間無關(guān) nnn tr ??? ?),(??][2),( nnnnn itrJ ???????? ??????粒子在空間幾率密度與時間無關(guān) )]/e x p ([)]/e x p ([ ?? tiEtiE nnnn ??? ? ??)/e x p ()/e x p ( ?? tiEtiE nnnn ?? ? ??)()( rr nn ?? ?? ??)]/e x p ()/e x p ()/e x p ()/e x p ([2?????tiEtiEtiEtiEinnnnnnnn?????????????)]()()()([2 rrrri nnnn ????? ????? ???? ??)( rJ n ??? 綜上所述，當(dāng) Ψ 滿足下列三個等價條件中的任何一個時，Ψ 就是定態(tài)波函數(shù)： 1. Ψ 描述的狀態(tài)其能量有確定的值； 2. Ψ 滿足定態(tài) Schrodinger方程； 3. |Ψ| 2 與 t無關(guān) 。 四、討論： anEan ??8).(222 ??由能量本征值aE??8221??基態(tài)：anEnaEn????212222222?????激發(fā)態(tài)：第第一激發(fā)態(tài)：1?n2?n最小能量是由測不準(zhǔn)關(guān)系規(guī)定的另外，即零，所以粒子的能量不能為因為靜止的波無意義，10 En ?)1().(????knkkaxb個節(jié)點激發(fā)態(tài)有態(tài)，第點，其他以外，基態(tài)波函數(shù)無節(jié)除端點也連續(xù)處有限時，在邊界當(dāng)處不連續(xù)。 ∞ 時波函數(shù) ψ 的行為。而處比如nn annna)1)(2(122 ???????代入得：將 ?? ? E2? 0212 ??? ?? En??)( 21?? nE n——線性諧振子能級公式 (15) ? ? )(2/2 ??? ? nnn HeN ?? ——厄密函數(shù) (16) 為歸一化常數(shù)nNHn(ξ) 也可寫成封閉形式： )()1()(22 ???? ??? eddeHnnnn的宇稱：)(?nH為偶數(shù)時為偶宇稱當(dāng)為奇數(shù)時為奇宇稱當(dāng)nn有遞推關(guān)系導(dǎo)出)( ?H1)(0 ??H?? 2)(1 ?H24)( 22 ?? ??H1,0 0 ?? ?n3,1 1 ?? ?n5,2 2 ?? ?n??? 128)( 33 ??H ???????? 7,3 3?n022)(2111???????nnnnnnHHHnHddH???厄密多項式的遞推關(guān)系： 基于厄密多項式的遞推關(guān)系可以導(dǎo)出諧振子 波函數(shù) Ψ(x) 的遞推關(guān)系： ? ?? ?? ?? ?)()2)(1()()12()()1()()()()()()2)(1()()12()()1()()()()(22212112222121211212222xnnxnxnnxxxxxnnxnxnnxxxxxxnnnndxdnnnnndxdnnnnnnnnn??????????????????????????????????????????????4 求歸一化系數(shù) ( 分 步 積 分 ) 該式第一項是一個多項式與 exp[ξ 2] 的 乘積，當(dāng)代入上下限 ξ= 177。 二、方程求解 202)(222221??VEEkk?????令： E V0 情況 ????????????????????區(qū)區(qū)區(qū)IIIaxkIIaxkIxk00000321322221211???????????????????????xikxikxikxikxikxikeCCeeBBeeAAe112211321???解得：上述三個區(qū)域的 Schrodinger 方程可寫為： ?????????????????????axaxVExEE000][003232022121222??????????????????????????xikxikxikxikxikCeeBBeeAAe12211321???1. 波函數(shù)連續(xù) 綜合 整理 記之 BBAAx????????)0()0(:021 ??BikBikAikAikx????????221121 )0(39。 于是： 20020)(16][161331 VEVEDkkkk????例 1: 入射粒子為電子。 液體中觀察原子圖象 下圖所示的是在電解液中得到的硫酸根離子吸附在銅單晶 (111)表面的 STM圖象。 dx ? 1982年 ， IBM瑞士蘇黎士實驗室的葛 由于微觀粒子的波動性，微觀粒子遵守 “ 不確定關(guān)系 ” ，粒子的坐標(biāo) x和動量 P不可能同時具有確定的值，自然作為坐標(biāo)函數(shù)的勢能和作為動量函數(shù)的動能當(dāng)然也不能同時具有確定的值 。 一、引言 l 二、方程求解 l 三、討論 l 四、應(yīng)用實例 167。(239。 例如雙原子分子，兩原子間的勢 U是二者相對距離 x的函數(shù)，如圖所示。束縛態(tài)的的粒子狀態(tài)通常把之內(nèi)子被束縛在在一維無限深勢阱中粒0)(0,)(,???????rxax???三、一維無限深方勢阱中粒子的能級、波函數(shù)和幾率密度 1?n2?n3?n4?n0 a1?2?3?4?a?2||?0 aa? 0?pE1E14E19E116E對于不同的量子數(shù)，在阱內(nèi)某一特定的點，粒子出現(xiàn)的幾率是不同的。 因此在量子力學(xué)中稱與上類似的方程為 束縛的本征值方程。 （ 2） 以 μ 乘連續(xù)性方程等號兩邊，得到： 0?????? ??? Jt ?量子力學(xué)的質(zhì)量守恒定律 量子力學(xué)的電荷守恒定律 0?????? ee Jt ????????????????????? )(2|),(| 2????iJJtr???????質(zhì)量密度和質(zhì)量流密度矢量 ??????????????????? )(2|),(| 2???????ieJeJtreeee電荷密度和電流密度矢量 0?????? Jt ??二、再論波函數(shù)的性質(zhì) （ 1） 由 Born 的統(tǒng)計解釋可知，描寫粒子的波函數(shù)已知后，就知道了粒子在空間的幾率分布，即 d ω(r, t) = |ψ(r, t)| 2 d τ （ 2） 已知 ψ(r, t) ， 則任意力學(xué)量的平均值、可能值及相應(yīng)的幾率就都知道了，也就是說，描寫粒子狀態(tài)的一切力學(xué)量就都知道了。對 t微商 ，?????????????? ???2222)(???xxEtzpypxpipxpiAexxzyx?????? ???? ???? ?? ][1 2222222222 zyx pppzyx ?????????????22222222??zypzpy同理有)2(221222222 ????????????pp ?? 或???????? )2()2(222??pEti??討論： 通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，如果能量關(guān)系式 E = p2/2μ 寫成如下方程形式： ????????????????????2222 ?4????????ppipptiE）（做算符替換（ 4）即得自由粒子滿足的方程（ 3）。這是由微觀粒子的波粒二象性決定的。 總之，當(dāng) 給定后，粒子的所以力學(xué)量的測量值的幾率 分布就確定了。 空間找到電子的幾率則是： |Ψ| 2 = |C1Ψ 1+ C2Ψ 2|2 = (C1*Ψ 1*+ C2*Ψ 2*) (C1Ψ 1+ C2Ψ 2) = |C1 Ψ 1|2+ |C2Ψ 2|2 + [C1*C2Ψ 1*Ψ 2 + C1C2*Ψ 1Ψ 2*] 電子穿過狹縫１出現(xiàn)在Ｐ點的幾率密度 電子穿過狹縫２出現(xiàn)在Ｐ點的幾率密度 相干項 正是由于相干項的出現(xiàn)，才產(chǎn)生了衍射花紋。,(211212221trrrrrrVrUtrrrtiNNiNiiiiN????????????????????????????????? ?)。 此波函數(shù)與時間 t的關(guān)系是正弦型的，其角頻率ω=E/h 。 問題的提出 : 金屬中自由電子的運(yùn)動 ,是被限制在一個有限的范圍 …… 稱為束縛態(tài)。因為在連續(xù)，而處波函數(shù)在邊界)()(,)()()().(axuxuaxaaaxc???????????若粒子束縛在邊長為 a， b， c的三維盒子中運(yùn)動： 1. 列出粒子的薛