【正文】 1( ) ( ) ( ) l im ( ) ( )2TX TTR X t X t X t X t d rT? ? ????? ? ? ??11( ) ,0 , 1 , 2 , , ( )NrX r k k rkR x xNrr m m n??????????? 1. 平穩(wěn)過程協(xié)方差函數(shù)的性質(zhì) 對于一個隨機過程，它的基本數(shù)字特征是數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)，但是當(dāng)隨機過程為平穩(wěn)過程時，它的數(shù)學(xué)期望是一個常數(shù)，經(jīng)中心化后可以變?yōu)榱?，所以?dāng)過程 X(t)平穩(wěn)后其基本數(shù)字特征實際上就是相關(guān)函數(shù)。另一種定義相關(guān)時間間隔大于的兩相時刻的取值不相關(guān)。這方面的應(yīng)用在數(shù)字信號分析和電路理論等方面應(yīng)用極廣。 1( ) { ( ) , , ( ) , }nX x x t x t?21l im ( )2Te TTW x tT ???? ? ? ??圖 .1 及其截取函數(shù) 怎樣具體表示隨機過程一個樣本函數(shù)的平均功率呢，我們是這樣操作的：首先定義 的一個樣本函數(shù)，不妨設(shè)為 ，再次地樣本函數(shù) 任意截取一段，長度為 2T，并記為 。 ? 解 ? 最后需要指出，在實際問題中常常碰到一些平穩(wěn)過程，它的協(xié)方差函數(shù)或功率譜密度在通常意義可能付氏變換不存在。若隨機過程再各態(tài)歷經(jīng)，則各態(tài)歷經(jīng)過程的功率譜密度可用一個樣本函數(shù)的功率譜密度來表示： 2 1[ ( ) ] ( 0 ) ( )2XXW E X t R G d???????? ? ? ?21( ) ( , ) l im ( , )2X s TTG G e x eT? ? ??????例 隨機過程 ?式中， 是常數(shù)， 上均勻分布隨機變量，求 的平均功率。 ? 然而，工程技術(shù)上有許多重要的時間函數(shù)總能量是無限的，不能滿足傅氏變換絕對可積條件，如正弦 就是。 ( ) c o s ( )X t A t????222 0() 200aaeataa??????? ??? ≤? ?? ? 當(dāng)我們在時間域內(nèi)研究某一函數(shù)的特性時，如果確定起來不方便，在數(shù)學(xué)上我們可以考慮將此函數(shù)通過某種變換將它變換到另一區(qū)域，比如說頻率域內(nèi)進(jìn)行研究，最終目的是使問題簡化。因此相關(guān)系數(shù)可直觀地說明隨機過程不同兩個狀態(tài)的協(xié)方差程度的強弱或隨機過程起伏的快慢。 如圖 [0， T]等分為 N個長為 的小區(qū)間，再在時刻 ， 取樣，得 N個函數(shù)值 。 ② 01( ) l im c o s ( )2TTTX t A t d tT ????????00c o s sinl im 0TATT????????( , )XR t t ??顯然由①、②結(jié)果再由隨機過程各態(tài)歷經(jīng)定義知 ∴ X(t)為寬各態(tài)歷經(jīng)過程。 ? 對任意指定時刻 的數(shù)學(xué)期望可近似表示為 協(xié)方差函數(shù)可近似表示為 來計算，顯然這種用近似計算的方法來估計隨機過程的數(shù)學(xué)期望及協(xié)方差函數(shù)要求 n很大，即樣本函數(shù)xk(t)很多。 )XXP x x t t P x x ??21tt? ??12( , ) ( )XXR t t R ??∴ 2 2 21 1 1[ ( ) ] ( )XXE X t x P x d x????? ? ??綜上所述，嚴(yán)平穩(wěn)一定是寬平穩(wěn) 反之不一定成立，除非是高斯過程（正態(tài)過程）。由此，我們可以進(jìn)一步來討論平穩(wěn)過程 X(t)的協(xié)方差函數(shù)應(yīng)具有什么樣的表達(dá)形式。 )XXP x t P x t ???1t? ??1 1 1 1( 。 ? 例如，飛機在某一水平高度 h上飛行時，由于受到氣流的影響，實際飛行高度 H(t)總是在理論設(shè)計高度 h水平上下隨機波動，此時飛機的實際飛行高度 H(t)是一個隨機過程，顯然此過程可看作不隨機推移面變化的過程，這個隨機過程，我們把它看作是平衡的隨機過程。 ?性質(zhì) 平穩(wěn)過程 X(t)的二維概率密度只 與 的時間間隔有關(guān)，而與時間起點無關(guān)。當(dāng)在相關(guān)理論又可指研究隨機過程的一、二階矩理論。 解 ∵ Y是隨機變量， ∵ 這一過程是一個與時間無關(guān)的特殊的過程，它的任何n維概率密度函數(shù) 與時間無關(guān)，所以是一個嚴(yán)平穩(wěn)。但是如果當(dāng)時間區(qū)間 T充分大時，如果 X(t)的絕大多數(shù)樣本函數(shù)的均值 1 11 ()2Tx TM x t d rT ?? ?1( ) { ( ) , , ( ) , }nX t x t x t?1xM[ ( )]E X t111( ) l im ( )2TTTx t x t d tT ???? ?都有 則我們可用其中一個樣本函數(shù)的均值 作 為 [X(t)]的近似，即 定義隨機過程的時間均值和時間相關(guān)函數(shù)： 稱 為隨機過程的 時間相關(guān)函數(shù) 。 性質(zhì) 平穩(wěn)過程 X(t)的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是 式中： 為平穩(wěn)過程的協(xié)方差函數(shù)； 為平穩(wěn)過程的數(shù)學(xué)期望。此外，相關(guān)函數(shù)不僅可向我們提供隨機過程各狀態(tài)間的關(guān)聯(lián)特性的信息，而且也是求取隨機過程的功率譜密度以及從噪聲中提取有用信息工具。 0( ) 0 . 0 5X?? ≤0?? 0?0?0??另一種定義相關(guān)時間方法是將 曲線在 之間的面積等效成 的矩形，如圖 。 ? 是不是任何一個時間函數(shù)都可以將其通過傅氏變換變到頻率域去研究呢？我們說當(dāng)時間函數(shù) 滿足絕對可積條件時可以。稱 為原樣本函數(shù) 的截取函數(shù)，如圖 。如果我們允許協(xié)方差函數(shù)或功率譜密度函數(shù)含有函數(shù)定義下協(xié)方差函數(shù)與功率譜密度存在付氏變換。 ? 特別地，當(dāng)我們研究的隨機過程是平穩(wěn)過程時，此時的平穩(wěn)過程平均功率可表示為： ? ∵ X(t)平穩(wěn) ∴ ()xG ?2[ ( )]E X t22[ ( ) ] ( 0 )XXE X t R???2221l im [ ( ) ]21l im2TTTTXXTTW E X t d ttdtT?????????????21l im 2 ( 0 )2 XXT TRT ??? ???∴ ? 該式說明：平穩(wěn)過程的平均功率等于該過程的均方值，也可由隨機過程的功率譜密度在全頻域上積分得到。巴塞伐公式理解為時間域上的總能量可用頻率域上的頻譜能量表示。 ( ) ,X t Y Y?111,( ) ,a X t a ?? ??()Nt1( ) ( ) ( )Y t a X t N t?? ? ?()XYR ?()XYR ?? 5. 設(shè)有隨機過程 ，其中 A是具有瑞利分布的隨機變量，其概率密度為 ? 是在（ 0, 2 ）上具有均勻分布且與 A相互獨立的隨機變量， 是一個常數(shù)，問X(t)是否是寬平穩(wěn)過程。也可以說，當(dāng)狀態(tài)與狀態(tài)之間的時間間隔越小，狀態(tài)之間的關(guān)系越高。 圖 第二種方法用數(shù)字處理方法（即近似計算方法）。 解 ① 0( ) c o s ( )X t A t????0,A? ?2001[ ( ) ] c o s ( ) 02E X t A t d?? ? ??? ? ??0 0 020 0 0220 0 0020[ ( ) ( ) ][ c os( ) c os( ) ][ c os c os( 2 2 ) ]21[ c os c os( 2 2 ) ]22c os ( )2XE X t X tE A t A tAEtAdAR??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ????∴ X(t)為一寬平穩(wěn)過程。 , )XXP x t P x x t t1 ( ) , , ( ) ,nx t x t? X(t)或者是做試驗產(chǎn)生一個樣本函數(shù) x(t)，然后再對樣本函數(shù) x(t)取不同時刻，如 ，得所對應(yīng)的結(jié)果 ，即此時隨機過程可表示為 。 , ) ( , 。 21tt? ???此式表明，平穩(wěn)隨機過程的二維概率密度函數(shù)僅依賴于 ，而時間的個別值 無關(guān)。 ) ( 。 ?此外當(dāng)我們知道一個隨機過程是平穩(wěn)過程時，它應(yīng)不隨時間的推移而變幻無常。 證：設(shè) X(t)的二維概率密度函數(shù)為 由于 X(t)為平穩(wěn)過程，所以對任意 有 若令 ，則 而 正是隨機過程二維概率密度函數(shù)的時間間隔，令 ，則： 12,tt1 2 1 2( , 。 前面已經(jīng)介紹過，對于一個隨機過程 X(t)，我們當(dāng)然希望能建立起它的多維分布函數(shù)，因為隨機過程的多維分函數(shù)能較完整地描述隨機過程的統(tǒng)計特性，但是要建立多維分布函數(shù)往往很困難，因此我們一般在相關(guān)理論范圍內(nèi)也就是用數(shù)字特征來描述過程的重要特性，這種用數(shù)字特征來描述過程 X(t)統(tǒng)計特性變化規(guī)律，對很多實際問題往往已能獲得很好的效果，可以提取到所需的參數(shù) 。 ∵ 是嚴(yán)平穩(wěn) , ∴ 只要 則 X1(t)是寬平穩(wěn)。 221( ) l im ( )2TTTx t x t d tT???? ?1( ) l im ( )2Tnn TTx t x t d tT ???? ?1