【正文】 4?????????? ?? ? ? ? ? ?? ?mmmmmmfafafahayyay511851211212?????????????? ?? ?aCaC1317!5311!4154???????? ?mmmmm fffhyy ???? ??? 122 43浙江大學研究生學位課程 《實用數(shù)值計算方法》 46 ? ?? ?? ?1,1010,211111139。通稱為算式。339。直至展開式：的用精確解計算所需點上的值。39。39。39。239。86539。1139。32332223223231332232132?????????????????????????ihhOGFfhFhhfxyhxyfffffGxyfffFhOGaCaCFfbaChFaCaChfCCCKCT ay l oryxKKiymmyyxyxxyxyiiimm浙江大學研究生學位課程 《實用數(shù)值計算方法》 60 ???????????????????613121132232332223322321baCaCaCaCaCCCC六個未知數(shù)，二個自由 ， 故可取 21216132613232321??????baaCCC，? ?? ?? ?213121321122121,461hKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKhyymmmmmmmm???????????????????，故： 浙江大學研究生學位課程 《實用數(shù)值計算方法》 61 N=4: 四級四階 RK方法 ? ?? ?? ??????????????????????????????????????????342312143211,21,2121,21,226hKyhxfKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKKhyymmmmmmmmmm 最常用的古典 RungeKutta方法。此時應減小步長。39。其值見表其中E ul e rkdxxDxDhbmmxximimkimkki01 1,?? ?????(?) 浙江大學研究生學位課程 《實用數(shù)值計算方法》 36 i 0 1 2 3 4 5b0 i 2 b1 I12 b2 I24 b3 I720 b4 I1440 b5 i1323551901427711 65 92 7 7 47 9 2 35372616998291 2 7 47 2 9 82512877 4 7 5? ?211 51623122??? ?????mmmmm fffhyyk 時，線性多步法為例如：Adams 外插法 (k=2) 3階 3步 顯式 ? ? ?? ? ? ?2?m1?mm表 外插系數(shù) bki值 圖 3階 3步外插法 ?浙江大學研究生學位課程 《實用數(shù)值計算方法》 37 ? ?? ?，舍入誤差也小。則條件，的事實上，若方法是穩(wěn)定的。 定理： 若 f(x,y)關于 y滿足 Lipschitz條件。公式得即并使得舍去余項分，得并用左矩形公式計算積令改寫成積分形式把用數(shù)值積分法構造96,86)1???????????????E ul e ryhxyRRxyxhfxyhxyxxdxxyxfxyhxyiiiiiiiiiiihxx? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?1061,1,0,200111 ???????????? ???niyxyyxfyxfhyy iiiiii? 浙江大學研究生學位課程 《實用數(shù)值計算方法》 16 ? ?? ?? ? ：改為以下預估一校正式一般地，把隱式格式隱式。 浙江大學研究生學位課程 《實用數(shù)值計算方法》 10 初值問題解法 我們討論一階 ODE，而高階可 能化為一階 ODEs。2239。亦稱定解 條件。 (61)(62)叫做 初值問題 。1139。一階初值問題 可以一般地寫成： ? ? ? ?? ?? ?86,000 ?????????yxyXxxyxfdxdy 歐拉（ Euler） 方法 Euler方法是求解 (68)最 簡單 方法， 但 精度差 ，故 不實用 。半隱法：可化為顯式的公式隱式：如改進的公式顯式：如全部算出可計算單步法：由公式。 則有估計式： )126()1(01 ????? LXLXm ehLRe ??的步長的區(qū)間上限局部截斷誤差上界常數(shù)xhxXRL ips c hi t zL????????? ?mmm xyy ???浙江大學研究生學位課程 《實用數(shù)值計算方法》 23 ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?hLhLRhLhLRhLhLRhLRhLRxyxfyxfhRxyxhfxyhxyyxhfyymmmjjmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm111111111,10100112111????????????????????????????????????????????????遞推相減得：證明：浙江大學研究生學位課程 《實用數(shù)值計算方法》 24 ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?。則稱00111111,??????LXmmmmmmmmmmmmmmmmmmmehLhLvxfuxfhvxhfvvuxhfuuvuE ul e rL ips c hi zyxfE ul e r??????????????????????浙江大學研究生學位課程 《實用數(shù)值計算方法》 28 ? ?? ? ? ?? ?的區(qū)域范圍。內插法較外插法更精確最常用，其插值公式為法。39。太多的校正不合適。 增加計算函數(shù)值的次數(shù)（級）與提高精 度（階）的關系見下表： 級 N 2 3 4 5 6 7 n ? 8階 P 2 3 4 4 5 6 n ? 2表 RungeKutta方法中 級 與 階 的關系 浙江大學研究生學位課程 《實用數(shù)值計算方法》 62 ? ?? ?各種解法精度比較：例高精度方法的主要優(yōu)缺點???????1022).1(239。39。439。39。239。39。239。11011??????????????????????hyyxyT ayl orRRysxyxyxyxyT ayl orxybKRayyykyyyysssskkmkmmm前三個點的值級數(shù)求初值問題例：用不影響所需精度為止。39。一般只要對給定算法。2!112!1!2!2?????????其中：；代入得：展開右端：浙江大學研究生學位課程 《實用數(shù)值計算方法》 43 ? ?? ?? ?? ?步方法。它是隱式或半隱式格式：多項式的取插值節(jié)點為內插法：11,1,??????pE ul e rkpxLL agr angexxxA dam spkmpmmpkm??? ? ? ?? ????1,1mmxxpkmmm dxxLyy。這里可推知和初值，由對給定的步長。整體截斷誤差與方法的說明可記為上式得：代入，將若于是得：注意到：21200001111,1220,2,1,01111hOE ul e rhE ul e rhOeLhMMhRxyymehLReehLhLXhmxmmLXmLXLXmLXXhmm????????????????????????????????exxx ??????? ???11lim浙江大學研究生學位課程 《實用數(shù)值計算方法》 25 ? ?? ?? ? ? ?? ?立是差分方程的解，若成初值問題的解是收斂性：設收斂性、穩(wěn)定性討論使用上述結果。02210010.10,110000100方法：則：由加速度令質量初值問題：? ?? ? 200510ttvtstvtv????真解：m t vmsmm t vmsms (t )0