【正文】 三個正數(shù)的算術(shù) —幾何平均不等式定理，是根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)和比較法證出的，因此，凡是可以利用該定理證明的不等式，一般都可以直接應(yīng)用比較法證明，只是在具備條件時，直接應(yīng)用該定理會更簡便．若不直接具備 “一正二定三相等 ”的條件，要注意經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃魏笤偈褂枚ɡ碜C明． 連續(xù)多次使用平均不等式定理時要注意前后等號成立的條件是否保持一致． [通一類 ] 證明： ∵ 0 a 1 ， ∴ 1 － a 0. ∴ 0 a (1 － a ) ≤ [a ＋ ? 1 － a ?2]2＝14. 同理 0 b (1 － b ) ≤14， 0 c (1 － c ) ≤14 將以上三個不等式相乘得 abc (1 － a )(1 － b )(1 － c ) ≤ (14)3. 2．設(shè) 0a1,0b1,0c1， 求證： abc (1 － a )(1 － b )(1 － c ) ≤ ( 14 ) 3 . [研一題 ] [例 3] 已知圓錐的底面半徑為 R，高為 H，求圓錐的內(nèi)接圓柱體的高 h為何值時，圓柱的體積最大？并求出這個最大的體積． [精講詳析 ] 本題考查算術(shù) —幾何平均不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用，解答本題需要作出圓錐、圓柱的軸截面，利用相似三角形建立各元素之間的關(guān)系，然后利用算術(shù) —幾何平均不等式求最大值． 設(shè)圓柱體的底面半徑為 r ，如圖，由相似 三角形的性質(zhì)可得H － hH＝rR， ∴ r ＝RH( H － h ) ． ∴ V 圓柱 ＝ π r2h ＝π R2H2 ( H － h )2h (0 ＜ h ＜ H ) ． 根據(jù)平均不等式可得 V 圓柱 ＝4π R2H2 (1－ x)的最大值． 解 ： y ＝ x2(1 － x ) ＝ x H － h212. ∵ 2 x2＋ (1 － x2) ＋ (1 － x2) ＝ 2 ， [研一題 ] ∴ y2≤12(2 x2＋ 1 － x2＋ 1 － x23)3＝427. 當(dāng)且僅當(dāng) 2 x2＝ 1