bxxaaa113三個正數的算術--幾何平均不等式-課件(人教a選修4-5)-免費閱讀
【正文】 H － h212. ∵ 2 x2＋ (1 － x2) ＋ (1 － x2) ＝ 2 ， [研一題 ] ∴ y2≤12(2 x2＋ 1 － x2＋ 1 － x23)3＝427. 當且僅當 2 x2＝ 1 － x2＝ 1 － x2，即 x ＝33時取 “ ＝ ” 號． ∴ y ≤2 39. ∴ y 的最大值為2 39. [悟一法 ] (1)利用三個正數的算術 —幾何平均不等式定理求最值，可簡記為 “積定和最小，和定積最大 ”． (2)應用算術 —幾何平均不等式定理，要注意三個條件即“一正二定三相等 ”同時具備時，函數方可取得最值．其中定值條件決定著平均不等式應用的可行性，獲得定值需要一定的技巧，如：配系數、拆項、分離常數、平方變形等． (3)當不具備使用平均不等式定理的條件時，求函數的最值可考慮利用函數的單調性． [通一類 ] 1．已知 x∈ R＋ ，求函數 y＝ x2(1－ x)的最大值． 解 ： y ＝ x2(1 － x ) ＝ x H － h21a ＋ c＞ 0 ， ∴ ( a ＋ b ＋ c )(1a ＋ b＋1b ＋ c＋1a ＋ c) ≥92. 當且僅當 a ＝ b ＝ c 時，等號成立． [悟一法 ] 三個正數的算術 —幾何平均不等式定理，是根據不等式的意義、性質和比較法證出的，因此，凡是可以利用該定理證明的不等式，一般都可以直接應用比較法證明，只是在具備條件時，直接應用該定理會更簡便．若不直接具備 “一正二定三相等 ”的條件，要注意經過適當的恒等變形后再使用定理證明． 連續(xù)多次使用平均不等式定理時要注意前后等號成立的條件是否保持一致． [通一類 ] 證明： ∵ 0 a 1 ， ∴ 1 － a 0. ∴ 0 a (1 － a ) ≤ [a ＋ ? 1 － a ?2]2＝14. 同理 0 b (1 － b ) ≤14， 0 c (1 － c ) ≤14 將以上三個不等式相乘得
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