bxxaaa113三個(gè)正數(shù)的算術(shù)--幾何平均不等式-課件(人教a選修4-5)(存儲(chǔ)版)
【正文】 abc (1 － a )(1 － b )(1 － c ) ≤ (14)3. 2．設(shè) 0a1,0b1,0c1， 求證： abc (1 － a )(1 － b )(1 － c ) ≤ ( 14 ) 3 . [研一題 ] [例 3] 已知圓錐的底面半徑為 R，高為 H，求圓錐的內(nèi)接圓柱體的高 h為何值時(shí)，圓柱的體積最大？并求出這個(gè)最大的體積． [精講詳析 ] 本題考查算術(shù) —幾何平均不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，解答本題需要作出圓錐、圓柱的軸截面，利用相似三角形建立各元素之間的關(guān)系，然后利用算術(shù) —幾何平均不等式求最大值． 設(shè)圓柱體的底面半徑為 r ，如圖，由相似 三角形的性質(zhì)可得H － hH＝rR， ∴ r ＝RH( H － h ) ． ∴ V 圓柱 ＝ π r2h ＝π R2H2 ( H － h )2h (0 ＜ h ＜ H ) ． 根據(jù)平均不等式可得 V 圓柱 ＝4π R2H2 大思維 ] 1 ．滿(mǎn)足不等式a ＋ b ＋ c3≥3abc 成立的 a ， b ， c 的范圍是什么？ 提示： a， b， c的范圍為 a≥ 0， b≥ 0， c≥ 0. 2．應(yīng)用三個(gè)正數(shù)的算術(shù) —幾何平均不等式，求最值應(yīng)注意 什么？ 提示： 三個(gè)正數(shù)的和為定值，積有最大值；積為定值，和有最小值．當(dāng)且僅當(dāng)三個(gè)正數(shù)相等時(shí)取得． [例 1] 已知 x∈ R＋ ，求函數(shù) y＝ x(1－ x2)的最大值． [ 精講詳析 ] 本題考查三個(gè)正數(shù)的算術(shù) — 幾何平均不等式在求最值中的應(yīng)用．解答本題要根據(jù)需要拼湊出利用其算術(shù) — 幾何平均不等式的條件，然后再求解． ∵ y ＝ x (1 － x2) ， ∴ y2＝ x2(1 － x2)2＝ 2 x2(1 － x2)(1 － x2) x (1 － x ) ＝ x h ≤4π R2H2 (H3)3 ＝427π R2H . 當(dāng)且僅當(dāng)H － h2＝ h ，即 h ＝13H 時(shí)， V 圓柱最大 ＝427π R2H . [悟一法 ]
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