【正文】 況下,應(yīng)用問(wèn)題的變化是非均勻的,但在局部變化的一瞬間,改變量可近似地看成是均勻變化的,這一瞬間的改變量往往正是. 但注意,用近似代替時(shí),要求誤差是的高階無(wú)窮,即上述（3）,憑借直觀圖形得出的有時(shí)是錯(cuò)誤的,檢驗(yàn)是否為的高階無(wú)窮小量就是一件極為重要的事情,同時(shí)往往也不是一件容易的事,:在任一小區(qū)間,若能夠把所求量的微小增量近似表示為的線性形式： 其中為某一連續(xù)函數(shù),而當(dāng)時(shí),這樣以來(lái),我們只要把定積分計(jì)算出來(lái)，我們不禁會(huì)問(wèn)時(shí)，為什么有，明白這個(gè)問(wèn)題，：因?yàn)?，所以：再根?jù)積分第一中值定理可得:其中是介于與之間的常量,則：因?yàn)槭沁B續(xù)的,所以：當(dāng)時(shí),有,從而有也就是：,故,問(wèn)題得證.我們?cè)跀?shù)學(xué)分析課本求旋轉(zhuǎn)曲面面積的時(shí)就對(duì)驗(yàn)證過(guò)程做了詳細(xì)說(shuō)明,用微元法求解問(wèn)題時(shí),對(duì)的驗(yàn)證,我們必須要引起足夠的重視. 微元法實(shí)質(zhì)是把求累加量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算的簡(jiǎn)化,它省卻了分微段、近似求和等過(guò)程,達(dá)到使事物的整體問(wèn)題得以解決的一種方法. 運(yùn)用微元法, 在一定的條件下可以把變化的、運(yùn)動(dòng)的、物理規(guī)律不適用的整體對(duì)象或整體過(guò)程轉(zhuǎn)化為不變的、靜止的、物理規(guī)律適用的元對(duì)象或元過(guò)程,即變?yōu)槔硐氲膶?duì)象或過(guò)程. 微元法可以是把研究物體取微元部分進(jìn)行分析,也可以是把研究過(guò)程取微元階段進(jìn)行分析. 微元法的基本數(shù)學(xué)工具是有關(guān)近似、極限、數(shù)列知識(shí)以及幾何、微元法的集體步驟，簡(jiǎn)而言之就是分割、近似代替、求和、取極限求積分. 具體操作就是：設(shè)想有一個(gè)函數(shù) , 所求量可以表示為: ，然后實(shí)際進(jìn)行以下三步:第一步：取 , 并確定它的變化區(qū)間。面積。第二步：設(shè)想把分成許多個(gè)小區(qū)間, 取其中任一個(gè)小區(qū)間, 相應(yīng)于這個(gè)小區(qū)間的部分量 能近似地表示為與的乘積),就把稱(chēng)為量的微元并記作, 即:第三步：在區(qū)間上積分, 得到這里的關(guān)鍵和難點(diǎn)是求,在解決具體問(wèn)題時(shí)本著是的線性主部的原則,這樣計(jì)算的為精確值.明確了微元法的實(shí)質(zhì),求解步驟以及應(yīng)該注意的問(wèn)題,.例1 求曲線 與區(qū)間所圍的面積. 分析：因在上連續(xù),記其分割為取為區(qū)間的右端點(diǎn)，然后求極限或取積分即可求解.解：所求面積：.我們?cè)谟?jì)算某些幾何圖形的面積時(shí),往往會(huì)碰到那些不規(guī)則的幾何圖形,直接計(jì)算起來(lái)很困難甚至無(wú)從下手,這時(shí)候微元法就發(fā)揮了極大作用.對(duì)平面曲線弧長(zhǎng)的計(jì)算,我們采取的方法就是把所給的平面曲線無(wú)線切割,切成無(wú)限個(gè)小段,這些小段可以形象稱(chēng)為“微元”,然后采取微元積分法就可以將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化了.例2 求曲線的弧長(zhǎng).解 ：由弧長(zhǎng)公式：在平面圖形的面積計(jì)算過(guò)程當(dāng)中,必要的時(shí)候,我們就得拿起小刀,對(duì)這塊“蛋糕”進(jìn)行分