【正文】 域內(nèi)任一點，求曲面上對應(yīng)的點及其他幾何信息時，首先確定所在的子區(qū)域，然后依據(jù)曲面片的指標i,j，選取相應(yīng)的曲面片表達式計算即可。一． 曲面數(shù)據(jù)點的參數(shù)化和曲線數(shù)據(jù)點的參數(shù)化一樣，曲面數(shù)據(jù)點的參數(shù)化方法也有以下四種。zier曲面；張量積曲面、三角曲面、離散曲面。在介紹參數(shù)雙三次樣條曲面之前，給出曲面模型，曲面造型的一些知識:三維幾何形體的曲面模型是在線框模型的基礎(chǔ)上增加面的信息，曲面模型是比線框模型更完全、二義性更小的數(shù)學(xué)表示方法，它為形體提供了更多的幾何信息。一個直接的想法是按照距離的倒數(shù)或距離的平方的倒數(shù)進行加權(quán)然后取其平均這里并不是Lagrange多項式，而是體現(xiàn)了函數(shù)在的值對在x點的函數(shù)值的影響。理論上在時，但有時候在原點附近出現(xiàn)不連續(xù)的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象稱為塊金效應(yīng)（Nugget Effect）；當觀測點間的距離大到一定程度的時候，呈現(xiàn)緩慢增加或不再增加，這時的就叫臨界變異值（Sill）。這時典型的協(xié)相關(guān)函數(shù)有。問題就是在已知這個隨機函數(shù)在一些點的實現(xiàn)值的情況下用估計的方法去估計這個隨機函數(shù)在每一點上的實現(xiàn)。 等值點的求解在對x,y,z軸上的搜索國過程中，若用，和分別來表示位于網(wǎng)格的第i行，第j列，第k高度的x邊，y邊和z邊的等值點與網(wǎng)格點的的距離與每個網(wǎng)格邊長的比?！傲骟w網(wǎng)格劃分”的方法為了簡便運算，先把給定的區(qū)域進行空間網(wǎng)格劃分，并且充分小，以為小正方體三邊的邊長構(gòu)造空間網(wǎng)格，這一步驟可用Mathematica軟件簡單實現(xiàn)。例如，在石油勘探周中，經(jīng)常把地層的地質(zhì)滲透率作為研究對象，從而可以判別諸如某地層是否可能蘊含石油等問題。 指導(dǎo)教師簽字： 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數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 相應(yīng)的等值點的空間坐標可由下述三個公式求得：等值點在x軸方向時，坐標值可由下式求得： ； ； ；分別對y,z軸上進行掃描，可求得空間中所有的x軸方向上的等值點坐標。由概率論的知識知道，在已知這個隨機函數(shù)在一些點上的實現(xiàn)值的情況下，還可以用條件數(shù)學(xué)期望求解：這個解是一個最小方差無偏估計。定義二： 隨機向量函數(shù)如果對每個固定x都是隨機變量，那么稱它是一個隨機函數(shù)。總之，空間相對距離小的，具有較高的相關(guān)性，變異性較??；空間相對距離大的，具有較小的相關(guān)性，變異性較大。比如可以假設(shè)影響的是與距離的次方的倒數(shù)成正比，那么定義權(quán)函數(shù)： 。利用曲面模型，可以生成數(shù)控加工刀具軌跡、進行物性計算；可以在程序中實現(xiàn)隱藏線的自動消除、生成產(chǎn)品的真實感圖形；也可以在有限元分析中生成表面的有限元網(wǎng)格。一般來說，構(gòu)造曲面要求兩方面的信息：① 定量數(shù)據(jù)，如點、切矢等；② 定性數(shù)據(jù)，象光滑性、視覺美觀性等。均勻參數(shù)化使每一參數(shù)方向上的參數(shù)節(jié)點區(qū)間長度, 。┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文6 四維散亂數(shù)據(jù)圖形表示的算例下面為給定的特殊情況下的算例，一般情況下算法思想一致：1　 先任意給定空間區(qū)域：；2　 我們只取特殊情況下，如下所示： 3　 由于在實際情況下，每個正方體頂點都能測量出四維散亂數(shù)據(jù)，為了計算方便，第四維數(shù)據(jù)由函數(shù)的值來確定。e. 基于VTK的醫(yī)學(xué)圖像和人體圖像顯示已講過，上述算法思想特別適用于比較密集的規(guī)格化的網(wǎng)格數(shù)據(jù)，而且根據(jù)等值點的分布情況來進行區(qū)域。根據(jù)殘差結(jié)果可以計算出平均殘差值和標準殘差等。這種參數(shù)化法僅適合于每一參數(shù)方向上數(shù)據(jù)點均勻分布的情況。與曲線的表示類似，曲面方法也應(yīng)該具有能夠插值或逼近給定“硬”數(shù)據(jù)的品質(zhì)。┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 在曲面模型中，主要研究具有一定光滑性的曲面外形的數(shù)學(xué)描述，其歷史由來已久。┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文其中，會影響插值的效果。最后將所有級別的這些點連接后就可以得到實驗變異函數(shù)。如果只對隨機函數(shù)在某個點上的行為感興趣，可以對這個隨機向量利用聯(lián)合分布進行研究。所謂的Kriging方法就是在已知隨機函數(shù)的一階矩和二階矩的條件下在線性模型：中，求最小方差線性無偏估計。等值點在z軸方向時，坐標值可由下式求得： ； ； ；分別對x,y軸上進行掃描，可求得空間中所有的z軸方向上的等值點坐標。下面主要討論第一種方法，便于對數(shù)據(jù)的處理。此外，在臨摹、仿制及考古的古生物復(fù)原問題中，人們通常利用仿制對象的一些離散測量值來繪制對象的表面形狀，從而制模。否則，再通過Kriging插值，Shepherd插值，MultiQuadric等方法實現(xiàn)等值曲面的插值擬合，其中Kriging插值關(guān)鍵是選擇較為合適的變差函數(shù)模型，例如球面，指數(shù)，高斯模型。（6）整理相關(guān)資料，完成畢業(yè)論文的寫作。對給定的四維數(shù)據(jù)，前三維是空間坐標，第四維是有用的信息，比如為壓力，溫度，密度等，要求在空間繪制出等值曲面，如等溫曲面，等壓曲面等，從其很有實用價值，如醫(yī)學(xué)上腫瘤邊界的數(shù)據(jù)灰度是相同的，這樣就可以構(gòu)造出腫瘤的形狀了，前提是要有計算機圖形學(xué)和曲面造型的相關(guān)知識。本論文最終并不是延續(xù)MC算法所提到的用三角面片表示的等值面。若判別式成立，則說明網(wǎng)格最下面的橫邊有等值點?？紤]到函數(shù)的連續(xù)性及隨機因素的影響，這些隨機變量是相互相關(guān)的。(3) 協(xié)方差(Variance)：二個隨機變量，η的協(xié)方差為二維隨機變量的二階混合中心矩記為，或=其簡算公式為= 可見，如果知道了隨機函數(shù)的協(xié)相關(guān)函數(shù)，那么我們可以寫出關(guān)于這個隨機函數(shù)在任意點的協(xié)方差矩陣，即如果，那么協(xié)方差矩陣的元素可以用協(xié)相關(guān)函數(shù)表示，寫成矩陣得到。 ①在整個研究區(qū)內(nèi)有 ② 增量[]的方差函數(shù) (變差函數(shù),Variogram) 存在且平穩(wěn) (即不依賴于u)，即： 定義七：變異函數(shù)區(qū)域化變量在點和的值與差的方差的一半為區(qū)域化變量F(x)在x軸方向上的變異函數(shù)，記為。假設(shè)數(shù)據(jù)點兩兩不同，是其上的數(shù)據(jù)值。所以在實際問題的計算中經(jīng)常采用較小的形狀參數(shù)c。zier曲面、Shepard曲面等。┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文 給定三維空間呈矩形拓撲結(jié)構(gòu)的一組離散數(shù)據(jù)點我們構(gòu)造插值這些數(shù)據(jù)點的一張參數(shù)雙三次樣條曲面。當然，上述四步也可以換成不同的順序，也可采用其他的邊界條件。b. 利用參數(shù)雙三次樣條插值方法，可對上述的算例在以每隔1個單位的矩形網(wǎng)格上得出更完美的效果： 上圖其實是很光滑的，實際中出現(xiàn)顏色變深，模糊不清，有縫隙的主要原因是計算機中小數(shù)點的舍入誤差和多達1600個曲面的結(jié)合所產(chǎn)生的結(jié)果，有待改進。基于球面模型、指數(shù)模型的Kringing插值方法所差值出的曲面與原曲面在形狀上有一點瑕疵，主要是因為受到球面模型、指數(shù)模型中的變程a很關(guān)鍵，直接關(guān)系到插值的精度和效果。當然，具體決定參數(shù)化時還應(yīng)根據(jù)實際情況及要求，確定切合實際需要的參數(shù)化，不能生搬硬套上述方法。曲面造型方法分為兩大類：一是以曲線為基礎(chǔ)，即由曲線構(gòu)造曲面。zier和de Casteljau的開創(chuàng)性工作，他們分別對立地提出了現(xiàn)在稱之為Coos曲面和B233。其結(jié)果與用MultiQuadric函數(shù)代替Kriging中的自相關(guān)函數(shù)或樣條函數(shù)中的核函數(shù)，利用Kriging公式或樣條插值公式求解的結(jié)果是一樣的，Hardy在很多實際問題計算中發(fā)現(xiàn)，如果數(shù)據(jù)點兩兩不同，用MultiQuadric函數(shù)構(gòu)造插值的插值問題都是有唯一解的，而且在很多情況下可以獲得甚至比在Kriging方法中運用通常的自相關(guān)函數(shù)及樣條函數(shù)通常的核函數(shù)更好的解。一般認為塊金值代表隨機變異的量，基臺值代表變量空間變異的結(jié)構(gòu)性方差，塊金系數(shù)是塊金值與基臺值的比值，用于反映變量的空間自相關(guān)程度。我們討論的隨機函數(shù)對任何兩兩不同的的點，隨機變量一般都是線性無關(guān)的。(1) 數(shù)學(xué)期望：是隨機變量的整體代表性特征數(shù)。為網(wǎng)格點高度(z軸）間距。┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊裝┊┊┊┊┊訂┊┊┊┊┊線┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊┊安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 畢業(yè)論文求出對應(yīng)軸上的坐標數(shù)據(jù)的步長數(shù)組求出散亂數(shù)據(jù)的原始空間三維坐標(xi,yi,zi)分別抽出原始數(shù)據(jù)中x,y,z軸上的數(shù)據(jù)坐標，進行排序分別以dx,dy,dz為三邊邊長構(gòu)造空間正六面體網(wǎng)格通過以下流程可以求得：