【正文】 結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣和結(jié)構(gòu)剛度方程。（5） 結(jié)構(gòu)剛度矩陣是稀疏陣，非0元素很少。圖24(a)所示結(jié)構(gòu)具有3個(gè)節(jié)點(diǎn)，2個(gè)單元，、為節(jié)點(diǎn)荷載，、為非節(jié)點(diǎn)荷載。橋梁結(jié)構(gòu)一般為空間復(fù)合結(jié)構(gòu)，它的離散模型可由梁、板、殼以及三維實(shí)體單元組合而成，復(fù)雜結(jié)構(gòu)的單元分析一般采用能量法推導(dǎo)。式中：為單元的分布荷載，、分別為集中橫向力和集中彎矩。幾何非線性 放棄小位移假設(shè)，從幾何上嚴(yán)格分析單元體的尺寸、形狀變化，得到非線性的幾何運(yùn)動(dòng)方程，由此造成基本控制方程的非線性問(wèn)題。 應(yīng)變矩陣，是單元應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系矩陣。將各單元切線剛度方程按節(jié)點(diǎn)力平衡條件組集成結(jié)構(gòu)增量剛度方程，即有： (283)式中：0[K]T為結(jié)構(gòu)切線剛度矩陣，可以由單元切線剛度矩陣按常規(guī)方法進(jìn)行組集形成；d{P}為荷載增量。于是，其應(yīng)變－位移幾何運(yùn)動(dòng)方程和平衡方程相同于線性問(wèn)題，不需要作任何變動(dòng)。以下介紹幾種常用的求解方法。一階自校正增量法求解過(guò)程的示意圖如圖28所示。取不平衡結(jié)點(diǎn)力為衡量收斂標(biāo)準(zhǔn)的準(zhǔn)則稱為平衡力準(zhǔn)則，若滿足下列條件就認(rèn)為迭代收斂： (2117)式中：P為外荷載向量；為不平衡力向量；為不平衡力收斂容差。失穩(wěn)事故的發(fā)生促進(jìn)了橋梁穩(wěn)定理論的發(fā)展。以上四種方法對(duì)于歐拉壓桿而言，所得到的臨界荷載值是相同的。由于假定發(fā)生第一類失穩(wěn)前結(jié)構(gòu)是線性的，多數(shù)情況下應(yīng)力與外荷載也為線性關(guān)系，因此，若某種參考荷載對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)幾何剛度矩陣為，臨界荷載為，那么在臨界荷載作用下結(jié)構(gòu)的幾何剛度矩陣為： (2122)于是式(2121)可寫成： (2123)式(2123)就是第一類線彈性穩(wěn)定問(wèn)題的控制方程。并以此為基礎(chǔ)，給出了橋梁結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的基本概念和求解兩類穩(wěn)定問(wèn)題的方法。根據(jù)有限元平衡方程可以表達(dá)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的物理現(xiàn)象。由于缺陷的影響，桿件開(kāi)始受力時(shí)即產(chǎn)生彎曲變形，其值要視缺陷程度而定。實(shí)際工程中的穩(wěn)定問(wèn)題一般都表現(xiàn)為第二類失穩(wěn)。設(shè)列向量{v}=(v1，v2，v3，......，vn)T，該向量的范數(shù)可以定義為： ①各元素絕對(duì)值之和： (2113) ②各元素平方和的根 (2114) ③元素中絕對(duì)值最大者 (2115) 這三個(gè)范數(shù)記為，應(yīng)用中可任選其中的一種。此外，為了評(píng)價(jià)解的精度，一般要對(duì)同一問(wèn)題在進(jìn)一步細(xì)分增量區(qū)間后再次求解，通過(guò)兩次解的比較判定是否收斂。為此，將再細(xì)分為M個(gè)小的增量： (2105) (10)在每一個(gè)小的子增量 中，先根據(jù)子增量起始時(shí)的應(yīng)力計(jì)算，而 (2106)于是新的應(yīng)力狀態(tài)為: (2107)由可計(jì)算下一個(gè)子增量時(shí)的，并重復(fù)以上步驟，結(jié)果 (2108)由此可形成最終狀態(tài)的。常用的屈服條件有：(1)屈雷斯卡(Tresca)屈服條件：假定最大剪應(yīng)力達(dá)到某一極限值時(shí)，材料開(kāi)始屈服，相當(dāng)于材料力學(xué)中的第三強(qiáng)度理論。于是，單元的應(yīng)力、應(yīng)變?cè)隽筷P(guān)系可表示成： (277)式中：將式(271)、(272)代入式(277)得： (278)于是，式(274)左邊第二項(xiàng)可表示為： (279) 記： (280) (281)則式(274)最后可表達(dá)為： (282)式(282)。單元桿端力向量； V 190。橋梁結(jié)構(gòu)以鋼和混凝土作為主要建材，因此，涉及的材料非線性主要是非線性彈塑性問(wèn)題和混凝土徐變問(wèn)題。式中：為單元的分布扭矩，集中扭矩(包括節(jié)點(diǎn)扭矩)作為分布扭矩的特殊情況也包括在內(nèi)。因此，讀者必須熟練掌握這一過(guò)程的每一環(huán)節(jié)，領(lǐng)會(huì)其分析思路。在程序計(jì)算中，希望將引入支座后的矩陣仍保留原來(lái)的階數(shù)且未知量排列順序不變，為此，可將式(216)擴(kuò)大成如下形式： (222)即：對(duì)原始剛度矩陣先提取對(duì)應(yīng)于已知位移向量的剛度元素，以備計(jì)算支座反力用，再將原始剛度矩陣中這些元素全部置0，對(duì)角線元素置1。（3） 處于同一單元上的兩個(gè)未知量稱相關(guān)未知量。式中，稱為梁?jiǎn)卧膭偠染仃?，只要已知梁?jiǎn)卧?、就可?jì)算出單元?jiǎng)偠染仃?。根?jù)單元在邊界處相互之間的連續(xù)性，將各單元的關(guān)系式集合成方程組，求出這些未知量，并通過(guò)插值函數(shù)計(jì)算出各個(gè)單元內(nèi)場(chǎng)函數(shù)的近似值，從而得到全求解域上的近似解。單元分析的方法有直接法和能量法，本節(jié)采用直接法。結(jié)構(gòu)剛度方程中第i行，表示該結(jié)構(gòu)第i個(gè)位移分量上力的平衡方程，因此，如果結(jié)構(gòu)有N個(gè)獨(dú)立位移分量，就可列出N個(gè)獨(dú)立平衡方程，結(jié)構(gòu)剛度矩陣就是NN階的。如果改變本例中節(jié)點(diǎn)3的邊界條件，如圖23所示，在節(jié)點(diǎn)1和2處轉(zhuǎn)角、是未知量，節(jié)點(diǎn)力、是已知量，節(jié)點(diǎn)3是固端，為未知量，轉(zhuǎn)角是已知量，即。圖24(c)中的節(jié)點(diǎn)荷載{P}稱為結(jié)構(gòu)非節(jié)點(diǎn)荷載的等效節(jié)點(diǎn)荷載，而式(224)中的單元固端力矩{M0}(1)、{M0}(2)的反號(hào)力叫做相應(yīng)單元荷載的等效節(jié)點(diǎn)荷載。(5)用結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系內(nèi)的節(jié)點(diǎn)位移表示單元坐標(biāo)系內(nèi)的節(jié)點(diǎn)位移 (233)式中：為單元的轉(zhuǎn)換矩陣。表21給出了非線性問(wèn)題的分類及基本特點(diǎn)。 受力后的邊界條件在求解前未知。190。： (284)橋梁結(jié)構(gòu)材料非線性主要是非線性彈塑性問(wèn)題和混凝土徐變問(wèn)題，本節(jié)介紹非線性彈塑性問(wèn)題的分析方法，混凝土徐變問(wèn)題將在第七章中介紹。 (2)暫假定是彈性的，計(jì)算 (298) (3)由此推出新的應(yīng)力狀態(tài)為 (299) (4)核對(duì)在第二步中的假設(shè)是否符合事實(shí)。圖26(b)表示的是直接迭代法迭代過(guò)程發(fā)散時(shí)的情形。為了減少形成總剛及其三角化分解的次數(shù)，有時(shí)用代替，這樣，僅進(jìn)行一次切線剛度矩陣和三角化分解計(jì)算，后面的迭代只是線性方程組的回代，這種方法稱為修正的法(法)。 穩(wěn)定計(jì)算理論穩(wěn)定是橋梁工程中經(jīng)常遇到的問(wèn)題，與強(qiáng)度問(wèn)題有著同等重要的意義。瓦格納(，1929)及符拉索夫(，1940)等人關(guān)于薄壁桿件的彎扭失穩(wěn)理論，證明其臨界荷載值大大低于歐拉理論的臨界值，同時(shí)又不能用分支點(diǎn)的概念來(lái)解釋。但對(duì)于P在PP...、Pn各值之間時(shí)壓桿是否穩(wěn)定的問(wèn)題也不能解釋。當(dāng)計(jì)算的是一期恒載穩(wěn)定問(wèn)題時(shí)，可直接用恒載來(lái)計(jì)算，這樣通過(guò)式(2123)算出的l就是一期恒載的穩(wěn)定安全系數(shù)；當(dāng)計(jì)算的是后期荷載的穩(wěn)定問(wèn)題時(shí)，恒載可近似為一常量，式(2123)改寫成： (2124)形成和求解式(2124)的步驟可簡(jiǎn)單歸結(jié)為：(1)按施工過(guò)程，計(jì)算結(jié)構(gòu)恒載內(nèi)力和恒載幾何剛度矩陣；(2)用后期荷載對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力分析，求出結(jié)構(gòu)初應(yīng)力(內(nèi)力)；(3)形成結(jié)構(gòu)幾何剛度矩陣和式(2124)；(4)計(jì)算式(2124)的最小特征值問(wèn)題。第二類穩(wěn)定是指橋梁結(jié)構(gòu)在不斷增加的外載作用下，結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生不斷變化，當(dāng)外載產(chǎn)生的應(yīng)力使結(jié)構(gòu)切線剛度矩陣趨于奇異時(shí)，結(jié)構(gòu)承載能力就達(dá)到了極限，穩(wěn)定性平衡狀態(tài)開(kāi)始喪失，稍有擾動(dòng)，結(jié)構(gòu)變形迅速增大，使結(jié)構(gòu)失去正常工作能力的現(xiàn)象。這個(gè)結(jié)論和事實(shí)完全一致。研究壓桿屈曲穩(wěn)定問(wèn)題常用的方法有靜力平衡法(Eular方法)、能量法(Timoshenko方法)、缺陷法和振動(dòng)法。結(jié)構(gòu)失穩(wěn)是指結(jié)構(gòu)在外力增加到某一量值時(shí)，穩(wěn)定性平衡狀態(tài)開(kāi)始喪失，稍有擾動(dòng)