【正文】 豎向位移，當(dāng)位移達(dá)到一定值d時，AB、BC兩桿件中軸力的豎向分力與P平衡，d 即為B點位移的解。式中：為單元的分布荷載，、分別為集中橫向力和集中彎矩。(9)作必要的輔助計算得到結(jié)構(gòu)中的內(nèi)力、應(yīng)力以及約束反力等。橋梁結(jié)構(gòu)一般為空間復(fù)合結(jié)構(gòu)，它的離散模型可由梁、板、殼以及三維實體單元組合而成，復(fù)雜結(jié)構(gòu)的單元分析一般采用能量法推導(dǎo)。將兩部分桿端力進(jìn)行疊加，即得非節(jié)點荷載作用下各桿的桿端彎矩。圖24(a)所示結(jié)構(gòu)具有3個節(jié)點，2個單元，、為節(jié)點荷載，、為非節(jié)點荷載。因此，引入支承條件的問題就歸結(jié)為劃去對應(yīng)未知量的行與列的問題，這種方法稱為劃行劃列法。（5） 結(jié)構(gòu)剛度矩陣是稀疏陣，非0元素很少?？梢姡魧卧獎偠染仃囍性叵聵?biāo)寫成位移分量編號的形式，則結(jié)構(gòu)剛度矩陣中任一剛度元素與單元剛度矩陣中元素有如下關(guān)系： (213)式中：—單元號，—結(jié)構(gòu)單元總數(shù)因此，用直接剛度法集成總剛，可歸納為以下幾步：（1） 結(jié)構(gòu)未知量進(jìn)行編號，確定各未知量在結(jié)構(gòu)剛度方程中的位置(行號)；（2） 確定結(jié)構(gòu)剛度矩陣的階數(shù)N；（3） 對單元e進(jìn)行循環(huán)，尋找e單元剛度矩陣中各元素下標(biāo)對應(yīng)于整體剛度方程中的未知量編號；并按此編號，根據(jù)式(213)分別疊加到結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣中的對應(yīng)位置上去。以上分析實現(xiàn)了整體分析，即得到結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣和結(jié)構(gòu)剛度方程。獨立的單元桿端內(nèi)力為彎矩、順時針為正。 有限元分析的基本概念和計算步驟首先以求解連續(xù)梁為例，引出結(jié)構(gòu)有限元分析的一些基本概念和計算步驟。第二章 有限元分析基本理論有限元法的基本思路是將一個連續(xù)求解區(qū)域分割成有限個不重疊且按一定方式相互連接在一起的子域(單元)，利用在每一個單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來分片地表示全求解域上待求的未知場函數(shù)。如圖21，連續(xù)梁承受集中力矩作用。記：為單元e的節(jié)點位移向量；為單元e的桿端力向量。通過整體分析，建立了節(jié)點的平衡方程，即結(jié)構(gòu)的剛度方程，從而得到結(jié)構(gòu)剛度矩陣。對單元循環(huán)完畢時，結(jié)構(gòu)剛度矩陣就形成了。對于較大規(guī)模的結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的非0元素只占總元素的10%左右。有時，為了能方便地計算出支反力，我們可以將式(28)寫成 (217)式中： ——未知位移量； ——已知位移； ——已知荷載向量； ——未知荷載向量或支反力。圖24 單元內(nèi)有非節(jié)點荷載作用的連續(xù)梁要解決這個問題，需用等效節(jié)點荷載來代替非節(jié)點荷載來分析整體結(jié)構(gòu)受力，處理原則為在等效節(jié)點荷載作用下的結(jié)構(gòu)節(jié)點位移與實際荷載作用下結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移應(yīng)相等。 () (225)有限元分析的實施過程可分為三個階段。但為了簡化計算，一般可近似為桿系結(jié)構(gòu)，因此，下一節(jié)將用能量法描述有限元分析原理和單元分析方法。假設(shè)應(yīng)力在截面上均勻分布，原來垂直于軸線的截面變形后仍保持和軸線垂直，問題可以簡化為一維問題。在分析梁彎曲問題時，通常采用兩節(jié)點Hermite彎曲梁單元，桿端有四個位移 (265)插值函數(shù)為： (266)有，代入泛函并從得到單元剛度方程為： (267)式中：為等截面梁單元的單元剛度矩陣，為單元右端荷載向量 (268) (269) 桿系結(jié)構(gòu)的非線性分析理論固體力學(xué)中有三組基本方程，即本構(gòu)方程、幾何運(yùn)動方程和平衡方程?？梢?，受力狀態(tài)因變形而發(fā)生明顯改變時，就必須用幾何非線性方法進(jìn)行分析。 幾何運(yùn)動方程為非線性。190。即： (271) {}190。[D]190。由于荷載增量一般取為有限值而不可能取成微分形式，結(jié)構(gòu)在求得的位移狀態(tài)下，抗力與總外荷載之間有一差量，即失衡力，結(jié)構(gòu)必須產(chǎn)生相應(yīng)位移以改變結(jié)構(gòu)的抗力來消除這個失衡力。(5)從卸載轉(zhuǎn)入反向力加載，應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系繼續(xù)采用式(287)或(288)，一直到反向屈服。需要改變的只是在塑性區(qū)范圍內(nèi)用塑性材料的本構(gòu)關(guān)系矩陣[Dep]代替原來的彈性系數(shù)矩陣[De]。 (2102) (8)計算塑性部分應(yīng)變增量及當(dāng)前應(yīng)力 (2103) (2104) (9)計算應(yīng)變增量之塑性部分所引起的應(yīng)力。(1)直接求解法直接求解法是基于全量列式的求解過程，應(yīng)用最多的是直接迭代法，由虛功原理建立的非線性有限元平衡方程為： (2109)當(dāng)設(shè)定位移向量{}的初值{}后，改進(jìn)的近似解可由下式得到： (2110)整個迭代過程可用下式表示： (2111)(a) (b)圖26 直接迭代法收斂和發(fā)散過程當(dāng)?shù)Y(jié)果滿足預(yù)定的收斂準(zhǔn)則時，就得到了所要求的節(jié)點位移向量。圖27描述了簡單增量法的求解過程。一階自校正增量法具有較高的求解速度，同時也比簡單增量法的計算精度高。(a) (b)圖29 法的收斂過程圖210 法和法迭代流程圖(4)收斂準(zhǔn)則在迭代計算中，為了中止迭代過程，必須確定一個收斂標(biāo)準(zhǔn)。上面公式中取哪一種范數(shù)，理論上可以任選。研究穩(wěn)定可以從小范圍內(nèi)觀察，即在鄰近原始狀態(tài)的微小區(qū)域內(nèi)進(jìn)行研究。早在1744年，歐拉()就提出了壓桿穩(wěn)定的著名公式。其實質(zhì)是求解彈性系統(tǒng)的平衡路徑(曲線)的分支點所對應(yīng)的載荷值(臨界載荷)。如果仔細(xì)研究一下，可以發(fā)現(xiàn)它們的結(jié)論并不完全一樣，表現(xiàn)在以下幾個方面： (1)靜力平衡法的結(jié)論只能指出，當(dāng)P=PP...、Pn時壓桿可能發(fā)生屈曲現(xiàn)象，至于哪種最可能，并無抉擇的條件。大量使用的是穩(wěn)定問題的近似求解方法，歸結(jié)起來主要有兩種類型：一類是從微分方程出發(fā)，通過數(shù)學(xué)上的各種近似方法求解，如逐次漸近法。穩(wěn)定問題轉(zhuǎn)化為求方程的最小特征值問題。全過程分析法是用于橋梁結(jié)構(gòu)極限承載力分析的一種計算方法，它通過逐級增加工作荷載集度來考察結(jié)構(gòu)的變形和受力特征，一直計算至結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞。在引入了結(jié)構(gòu)幾何非線性和材料非線性概念的同時，建立了橋梁結(jié)構(gòu)非線性分析的增量平衡方程和求解思路。在橋梁結(jié)構(gòu)中，結(jié)構(gòu)內(nèi)力一般由施工過程確定的恒載內(nèi)力(這部分必須按施工過程逐階段計算)和后期荷載(如二期恒載、活載、風(fēng)載等)引起的內(nèi)力兩部分組成。當(dāng)今非線性力學(xué)將有限元與計算機(jī)結(jié)合，得以將穩(wěn)定問題當(dāng)作非線性力學(xué)的特殊問題，用計算機(jī)程序?qū)崿F(xiàn)求解，取得了巨大的成功。PP...、Pn時，屈曲的變形形式根本不能平衡，因此無法回答直線形式的平衡是不穩(wěn)定的問題。缺陷法認(rèn)為：完善而無缺陷的理想中心受壓直桿是不存在的。普蘭特爾和米歇爾幾乎同時發(fā)表了關(guān)于梁側(cè)傾問題的研究成果。前者以小位移理論為基礎(chǔ)，而后者建立在大位移非線性理論的基礎(chǔ)上，引出了研究結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題的兩種形式：第一類穩(wěn)定：分支點失穩(wěn)問題；第二類穩(wěn)定：極值點失穩(wěn)問題。在非線性比較嚴(yán)重的問題中，用位移準(zhǔn)則更合適。數(shù)的大小可以用其絕對值來衡量，而對于一個結(jié)構(gòu)，無論其節(jié)點力還是節(jié)點位移都是向量，其大小一般用該向量的范數(shù)來表示。 圖27 簡單增量法的求解過程 圖28 一階自校正增量法的收斂過程(3)NewtonRaphson法對于多自由度體系，