【正文】 1 D . 2 7 2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 【解析】 如圖 , 作 △ PE C 的外接圓 ☉ O , 連接 OA , OE , OC , 點(diǎn) P 在線段 OA 上時(shí) , 則 PA 的長(zhǎng)度最小 . 過(guò)點(diǎn) O 作 OF ⊥ EC 于點(diǎn) F , OG ⊥ AB 于點(diǎn) G , ∵ ∠ E PC = 60 176。 , 易得 △ A 39。 , ∴ 點(diǎn) P 在以 BC 為直徑的圓上 ( P 不與 B , C 重合 ) , 設(shè) BC 的中點(diǎn)為 O , 連接 PO , PQ , OQ , 則 P O =12BC= 3 , O Q =12AC= 1, ∴ PO OQ ≤ PQ ≤ P O + O Q ( 當(dāng) O , Q , P 三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立 ) , ∴ 3 1 ≤ x ≤ 3 + 1, 又 P 不與 B , C 重合 , ∴ x ≠ 2 . 綜上 , x 的取值范圍是 3 1 ≤ x ≤ 3 + 1 且 x ≠ 2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.( 2022浙江舟山 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=4,AD=2,點(diǎn) E在 CD上 ,DE=1,點(diǎn) F為邊 AB上一動(dòng)點(diǎn) ,以 EF為斜邊作 Rt△ P在矩形 ABCD的邊上 ,且這樣的直角三角形恰好有兩個(gè) ,則 AF的值是 . 0 或 1 AF 113 或 4 【解析】 在點(diǎn) F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中分別以 EF為直徑作圓 .當(dāng)點(diǎn) F與點(diǎn) A重合時(shí) ,以 EF為斜邊的Rt△ EFP恰好有兩個(gè) ,符合題意 .在點(diǎn) F從點(diǎn) A向點(diǎn) B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 ,當(dāng) 0AF1時(shí) ,共有 4個(gè)點(diǎn)P使 △ EFP是以 EF為斜邊 Rt△ AF=1時(shí) ,有 1個(gè)點(diǎn) P使 △ EFP是以 EF為斜邊的Rt△ EFP. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 當(dāng) 1 A F113時(shí) , 有 2 個(gè)點(diǎn) P 使 △ E FP 是以 EF 為斜邊的 Rt △ EF P . 當(dāng) A F=113時(shí) , 有 3 個(gè)點(diǎn) P 使 △ EF P 是以 EF 為斜邊的 Rt △ E FP . 當(dāng)113 A F 4 時(shí) , 有 4 個(gè)點(diǎn) P 使 △ E FP 是以 EF 為斜邊的 Rt △ EF P . 當(dāng)點(diǎn) F 與點(diǎn) B 重合時(shí) , 以 EF 為斜邊的 Rt △ EFP 恰好有兩個(gè) , 符合題意 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ,在 △ ABC中 ,D是 BC邊的中點(diǎn) ,E,F兩點(diǎn)在 AB邊上 , ∠ FDE=∠ FED,△ BDE與△ DFE相似 ,求證 :BE⊥ CE. 解 :∵ △ BDE與 △ DFE相似 ,∴ ∠ B=∠ FDE,∵ ∠ FDE=∠ FED, ∴ ∠ B=∠ FED,∴ BD=DE=CD, ∴ 點(diǎn) B,C,E在以 BC為直徑的圓上 ,∴ BE⊥ CE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ,在 △ ABC中 ,∠ ACB=90176。 ② 當(dāng)此弧與 BC 交于 A39。,此時(shí) AB39。 BE= A D ( 2 )若 ∠ BAC=50176。 ?? ??, ∵ AD 平分 ∠ B AC ,∴ B E= E C , ∴?? ???? ??=?? ???? ??. 【名師點(diǎn)撥】 本題也可用相似三角形知識(shí)解答 ( 見(jiàn)本書(shū)《相似三角形》