【正文】 和為 . ? 圖 358 二、填空題 答案 9n+3 解析 由圖形及數(shù)字規(guī)律可知 ,第 n個圖中正方形的個數(shù)為 5n+1,等邊三 角形的個數(shù)為 4n+2,所以正方形和等邊三角形的個數(shù)之和為 5n+1+4n+2 =9n+3. 三、解答題 3.(2022安徽中考 ,19,★★★ ) 【閱讀理解】 我們知道 ,1+2+3+… +n=? ,那么 12+22+32+… +n2結(jié)果等于多少呢 ? 在圖 359所示三角形數(shù)陣中 ,第 1行圓圈中的數(shù)為 1,即 12。 (2)進一步思考 ,單位分數(shù) ? =? +? (n0,且 n為整數(shù) ),請寫出△ ,☆所表示 的式子 . 1234611124151202211☆解析 (1)6。 (2)若 n是正整數(shù) ,請用含 n的代數(shù)式表示第 n個等式 ,an= = 。 ⑤ 1,? ,? ,? , ,… ,則第 n個數(shù)為 . 3459716答案 ① 2n ② 2n+1 ③ 3n ④ 5n4 ⑤ ? 。 (2)觀察相鄰的項或前幾項 ,找出由前一項 (或前幾項 )表示后一項的規(guī)律 . 題型一 等式中的規(guī)律探索 例 1 (2022廣西百色中考 )觀察下列等式 : 3212=8, 5212=24, 7212=48, 9212=80, …… 由以上規(guī)律可以得出第 n個等式為 . 解析 通過觀察發(fā)現(xiàn) ,等號的左邊中被減數(shù)是連續(xù)奇數(shù)的平方 ,減數(shù)是 1 2,等號的右邊是兩個連續(xù)偶數(shù)的乘積 .所以第 n個等式為 (2n+1)212=2n“ 峰 2” 中 峰頂 C的位置是有理數(shù) 9,根據(jù)圖中的排列規(guī)律可知 ,“ 峰 6” 中峰頂 C的 位置是有理數(shù) ,2 016應(yīng)排在 A、 B、 C、 D、 E中的 位置 . ? 答案 29。 第 3幅圖中有 15=35個 “ ?” 。4=503…… 1,所以 2 013是第 504個循環(huán)組的第 2個數(shù) ,所以從 2 013到 2 014再到 2 015, 箭頭的方向是 ? . 3.(2022黑龍江綏化中考 ,19,★☆☆ )古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù) 1,3,6,10,15,21,… 叫做三角形數(shù) ,它有一定的規(guī)律性 .若把第一個三角形數(shù)記為 a1,第二個 三角形數(shù)記為 a2,…… ,第 n個三角形數(shù)記為 an,計算 a1+a2,a2+a3,a3+a4,…… , 由此推算 a399+a400= . 答案 105 解析 ∵ a1+a2=4=22,a2+a3=9=32,a3+a4=16=42,…… ,∴ a399+a400=4002=1 05,故答案為 105. 4.(2022廣東深圳中考 ,15,★★☆ )觀察如圖所示的圖形 ,它們是按一定規(guī) 律排列的 ,依照此規(guī)律 ,第 5個圖形有 個太陽 . ? 答案 21 解析 每個圖形第一行的規(guī)律是 1,2,3,4,… ,故第 5個圖形的第一行有 5個 太陽 。5=403,故 2 016應(yīng)排在 E位置 . 4.(2022廣東深圳錦華實驗學(xué)校期中 ,23,★★☆ )觀察下列等式 : 第 1個等式 :a1=? =? ? 。 第 2次劃分 :將圖 353②左上角的正方形 AEMH再作劃分 ,得圖 353③ , 則圖 353③中共有 9個正方形 . (1)若每次都把左上角的正方形依次劃分下去 ,則第 3次劃分后 ,圖中共有 個正方形 。 ③ 3,9,27,81,… ,則第 n個數(shù)為 。 第 4個等式 :a4=? =? ? 。對數(shù)串 3,1,6也進行這樣的操作 ,第 30次操 作后所產(chǎn)生的那個新數(shù)串中所有數(shù)的和是 . 答案 100 解析 根據(jù)題意 ,對于數(shù)串 3,1,6,第一次操作后產(chǎn)生的新數(shù)串為 3,2,1,5, 6,其和為 13。…… 。6=336…… 1,所以 a2 017=a1= B. 二、解答題 3.(2022江西吉安期中 ,23,★★☆ )圖 356是由邊長為 1 cm的若干個正方 形疊加而成的圖形 ,其中第一個圖形由 1個正方形組成 ,周長為 4 cm,第二 個圖形由 4個正方形組成 ,周長為 10 cm,第三個圖形由 9個正方形組成 ,周 長為 16 cm,…… .(12分 ) (1)第四個圖形由 個正方形組成 ,周長為 cm。 (2)通過類比、計算等方法 ,從不同的角度、層次發(fā)現(xiàn)其相似或相同點 。 (3)1+3+5+… +(2n1)+(2n+1)= . 答案 (1)225 (2)9 964 (3)(n+1)2 解析 (1)由題中的規(guī)律知 ,1+3+5+… +27+29=? =152=225. (2)1+3+5+… +197+199=? =1002=10 000, 1+3+5+7+9+11=? =36, ∴ 13+15+17+… +197+199=10 00036=9 964. (3)1+3+5+… +(2n1)+(2n+1)=? =(n+1)2. 22 9 12???????21 9 9 12? 21 1 12? 22 1 12n ??1.(2022廣西崇左中考 )如圖是將正三角形按一定規(guī)律排列的 ,則第 4個圖