【正文】 僅當。 一個人把6根草掌握在手中，僅露出它們的頭和尾。解 樣本點總數(shù)為。(3)當全系運動員都是三年級學生時。(2) 等價于，表示全系運動員都有是三年級的男生。從這五條線段中任取三條，求所取三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率。用事件表示“該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字都是1”，則該數(shù)的最后一位數(shù)字必須是1，設(shè)最后第二位數(shù)字為，則該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字為1和3的個位數(shù)，要使3的個位數(shù)是1，必須，因此所包含的樣本點只有71這一點，于是。解 分別用表示第一、二艘船到達泊位的時間。在這個城市的居民中，訂甲報的有45%，訂乙報的有35%，訂丙報的有30%，同時訂甲、乙兩報的有10%，同時訂甲、丙兩報的有8%，同時訂乙、丙兩報的有5%，同時訂三種報紙的有3%，求下述百分比：(1)只訂甲報的；(2)只訂甲、乙兩報的；(3)只訂一種報紙的；(4)正好訂兩種報紙的；(5)至少訂一種報紙的；(6)不訂任何報紙的。解 用表示“任選一名射手為級”， ，表示“任選一名射手能進入決賽”，則 在某工廠里有甲、乙、丙三臺機器生產(chǎn)螺絲釘，它們的產(chǎn)量各占25%，35%，40%，并在各自的產(chǎn)品里，不合格品各占有5%，4%，2%。 做一系列獨立的試驗，每次試驗中成功的概率為，求在成功次之前已失敗了次的概率。由于，所以，即的分布列為，取正整數(shù)。 如果在時間（分鐘）內(nèi)，通過某交叉路口的汽車數(shù)量服從參數(shù)與成正比的普哇松分布。，且只取值6，證明不服從均勻分（即不可能有。 ，用航空測量法測得邊長的誤差為：, ，求場地面積的數(shù)學期望。如果(1)摸球是為返回的，(2)摸球是返回的，試對這兩種不同的摸球方式求：取出黑球數(shù)的數(shù)學期望。解：（1）在（）內(nèi)不單調(diào)，因而不可能是隨機變量的分布函數(shù)； （2）在（0，）內(nèi)單調(diào)下降，因而也不可能是隨機變量的分布函數(shù)； （3）在（內(nèi)單調(diào)上升、連續(xù)且，若定義則可以是某一隨機變量的分布函數(shù)。(3),所以。 （3）。證：的分布函數(shù)為設(shè)的分布函數(shù)、的聯(lián)合分布函數(shù)分別為。解：在時。解： ，當時，當時，所以 設(shè)隨機變量與獨立，服從相同的柯西分布，其密度函數(shù)為證明：也服從同一分布。解 ， ， 。 證：。（3）密度函數(shù)為的指數(shù)分布的特征函數(shù)為，所以是密度函數(shù)為的分布的特征函數(shù)。證： 的特征函數(shù)為。 設(shè)隨機變量序列同時依概率收斂于隨機變量與，證明這時必有。，隨機變量序列依概率收斂于常數(shù)，證明按分布收斂于。證：，而按分布收斂于（），按分布收斂于，結(jié)論成立。 在一家保險公司里有10000個人參加保險，每人每年付12元保險費，在一年里一個人死亡的概率為0。證：這時仍是獨立同分布隨機變量序列，易知有由林德貝爾格勒維中心極限定理知：的分布函數(shù)弱收斂于正態(tài)分布，結(jié)論得證。，共同分布為其中，問是否服從大數(shù)定律？答：因為存在，由辛欽大數(shù)定律知服從大數(shù)定律。證：已知，記，令，則對任給的，由契貝曉夫不等式有故，結(jié)論得證。 設(shè)隨機變量按分布收斂于隨機變量，又數(shù)列，證明也按分布收斂于。第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 設(shè)為退化分布：討論下列分布函數(shù)列的極限是否仍是分布函數(shù)？解：（1）（2）不是；（3）是。 設(shè)為獨立同分布的隨機變量，求的分布。則是隨機變量的特征函數(shù)。由于，所以。證：由于，所以與不獨立。 ，其它。 對球的直徑作近似測量，設(shè)其值均勻分布在區(qū)間內(nèi)，求球體積的密度函數(shù)。 設(shè)二維隨機變數(shù)具有下列密度函數(shù)，求邊際分布。所以 。解：因為 所以因而。試證明在的條件下，的分布是均勻分布，即，其中.證明 由于，…，相互獨立且服從同一幾何分布，所以。(2) 證明 (1)由于存在，所以該級數(shù)絕對收斂。解 設(shè)隨機變量具有分布：，求、及。 設(shè)隨機變量與獨立，且，又，定義，問取什么值時與獨立？解=而，由得 設(shè)隨機變量與獨立，且，定義，證明兩兩獨立，但不相互獨立。所以。求的值。解 用表示“第門高射炮發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機”， ，表示“擊中飛機”。則 個人用摸彩的方式?jīng)Q定誰得一張電影票，他們依次摸彩，求：(1)已知前個人都沒摸到，求第個人摸到的概率；(2)第個人摸到的概率。試描述這一隨機現(xiàn)象的概率空間，并求甲或乙先取到白球的概率。解 所求概率為 在中任取一點，證明的面積之比大于的概率為。所以包含個樣本點，于是。解 樣本點總數(shù)為。解 (1)記9個合格品分別為 ，記不合格為次，則(2)記2個白球分別為，3個黑球分別為，4個紅球分別為。解 (1) 。如果字母的各種排列是隨機的（等可能的），問“恰好組成“MATHEMATICIAN”一詞的概率為多大？解 顯然樣本點總數(shù)為，事件“恰好組成“MATHEMATICIAN”包含個樣本點。解 (1)6根草的情形。解 分別用表示三角形的一個頂點與平行線相合，一條邊與平行線相合，兩條邊與平行線相交，顯然所求概率為。用表示事件“排列中”即第個主對角線元素出現(xiàn)于展開式的某項中。結(jié)果他遲到了，試問他是乘火車來的概率是多少？解 用表示“朋友乘火車來”，表示“朋友乘輪船來”，表示“朋友乘汽車來”，表示“朋友乘飛機來”，表示“朋友遲到了”。（3）,所以它不是隨機變量的分布列。解 拋擲一枚不均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為，設(shè)為一直擲到正、反面都出現(xiàn)時所需要的次數(shù)，求的分布列。解 在指定的一頁上出現(xiàn)某一個錯誤的概率，因而，至少出現(xiàn)三個錯誤的概率為 利用普哇松定理求近似值，取，于是上式右端等于2．14 ，現(xiàn)在要把產(chǎn)品裝箱，那么每箱至少應(yīng)裝多少個產(chǎn)品？解 設(shè)每箱至少裝個產(chǎn)品，其中有個次品，則要求,使 ，利用普哇松分布定理求近似值，取，于是上式相當于，查普哇松分布數(shù)值表，得。 已知隨機變量的分布列為，求與的分布列。解 設(shè)，則的分布列為，因而。求在兩次檢修之間產(chǎn)品總數(shù)的數(shù)學期望與方差。 設(shè)與都是分布函數(shù)，又是兩個常數(shù)，且。不等式（1）的解為：或。3．25 設(shè)二維隨機變數(shù)有密度函數(shù)求常數(shù)及的密度函數(shù)。證：由于，所以。證明的分布函數(shù)與的分布函數(shù)相同。解：由得，所以在時，在時，所以 設(shè)隨機變量與獨立，且分別具有密度函數(shù)為證明服從分布。解： =，故。在時，是的下凸函數(shù)，故即故（2）在時，故 設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合分布密度為其中。 證明函數(shù)是特征函數(shù)，并求出它的分布函數(shù)。證：由的特征函數(shù)推得，與的特征函數(shù)分別為與，故。對任給的取足夠大，使有成立，對取定的，存在，當時有成立這時有 從而有由的任意性知，同理可證，由前述（1）有故，結(jié)論成立。 設(shè)為一列獨立同分布隨機變量，其密度函數(shù)為其中為常數(shù)，令，證明。證：為同分布隨機變量序列，且，因而，又當時，與獨立，結(jié)論得證。 用特征函數(shù)的方法證明“二項分布收斂于普哇松分布”的普哇松定理。 設(shè)隨機變量服從分布，其分布密度為證：當時，的分布函數(shù)弱收斂于分布。證：不妨設(shè)。 設(shè)為一列獨立同分布隨機變量，其密度函數(shù)為令，證明。證：不妨設(shè)對任意的，當時有，因而。 判別下列函數(shù)是否為特征函數(shù)（說明理由）：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。 設(shè)是一個特征函數(shù)。 解：。解：。故令，則所以服從分布。由于上的均勻分布，所以的分布函數(shù)，對任意的都成立。問與是否獨立？是否不相關(guān)？解：。解： 設(shè)的密度函數(shù)為求與中至少有一個小于的概率。 某種電池的壽命服從正態(tài)分布，其中（小時），（小時）(1) 求電池壽命在250小時以上的概率； （2）求。取，又令這時顯然，與對應(yīng)的隨機變量不是取有限個或可列個值，故不是離散型的，而不是連續(xù)函數(shù)，所以它也不是連續(xù)型的。 從數(shù)字0，1，…，n中任取兩個不同的數(shù)字，求這兩個數(shù)字之差的絕對值的數(shù)學期望。 已知離散型隨機變量的分布列為，求的分布列。解 。 兩名籃球隊員輪流投籃，直到某人投中時為止，,，求每名隊員投籃次數(shù)的分布列。