【正文】 的 bacon數(shù)。比如說證明 Fermat大定理的 Andrew Wiles，他的研究方向與 Erdos相去甚遠(yuǎn)，但他的 Erdos數(shù)只有 3，是通過這個(gè)途徑實(shí)現(xiàn)的： ErdosAndrew OdlyzkoChris Wiles. LOGO 小世界實(shí)驗(yàn) Erdos數(shù) ? Fields獎(jiǎng) 得主的 Erdos數(shù)都不超過 5，（只有 Cohen和 Grothendieck的 Erdos數(shù)是 5，） ? Nevanlinna獎(jiǎng) 得主的 Erdos數(shù)不超過 3，（只有Valiant的 Erdos數(shù)是 3） ?Wolf數(shù)學(xué)獎(jiǎng) 得主的 Erdos數(shù)不超過 6，（只有 6，且只有 Kolmogorov是 5，） ?Steele獎(jiǎng) 的終身成就獎(jiǎng)得主的 Erdos數(shù)不超過 4. ?在具有有限 Erdos數(shù)的人名單中往往還能發(fā)現(xiàn)一些其他領(lǐng)域的專家，如 : 比爾蓋茲 (Bill Gates)， 他的Erdos數(shù)是 4，通過如下途徑實(shí)現(xiàn)： ErdosPavol HellXiao Tie DengChristos H. PapadimitriouWilliam H. (Bill) Gates. ?愛因斯坦的 Erdos數(shù)是 2. LOGO 網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫再|(zhì) LOGO 網(wǎng)絡(luò)中異質(zhì)節(jié)點(diǎn) 2022/6/1 59 細(xì)胞網(wǎng)絡(luò) 蛋白質(zhì)相互作用 基因網(wǎng)絡(luò) 基因網(wǎng)絡(luò) 二維網(wǎng)絡(luò) 表達(dá)與調(diào)控 代謝 功能與行為 單個(gè)功能 三維系統(tǒng)生物學(xué) LOGO 復(fù)雜寓于簡單 ? 在不同領(lǐng)域許多系統(tǒng)都呈自相似結(jié)構(gòu) ,即局部與總體相似。 ?他可以和許多不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家合作。 ?幾年前 ,Virginia 大學(xué)的計(jì)算機(jī)專家 Brett Tjaden設(shè)計(jì)了一個(gè)游戲，他聲稱電影演員Kevin Bacon是電影界的中心 。 1. 能不能用一個(gè)或盡可能少的統(tǒng)計(jì)量來綜合刻劃復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)呢？ 2. 用多少相互獨(dú)立的統(tǒng)計(jì)量刻畫復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)是完備的？ LOGO 48 謝謝大家！ LOGO 小世界實(shí)驗(yàn) 六度分離 ?米爾格倫的 實(shí)驗(yàn)過程 是：他計(jì)劃通過人傳人的送信方式來統(tǒng)計(jì)人與人之間的聯(lián)系。 ? 網(wǎng)絡(luò)的平均度： 網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)的度和的平均值 ，記作 k。 5）復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜結(jié)構(gòu) 社團(tuán)結(jié)構(gòu)、層次結(jié)構(gòu)、節(jié)點(diǎn)分類結(jié)構(gòu)等。ler Erdǒs和 R233。這就是著名的“ 六度分離 ”（ six degrees of separation）推斷。而且，一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中可能存在多種不同類型 的節(jié)點(diǎn)。 ２ )涌現(xiàn)性。 二十一世紀(jì)（二十世紀(jì)末）， 系統(tǒng) 成為主要的研究對(duì)象， 整合 成為主要方法。在這種交換中，系統(tǒng)經(jīng)歷著從低級(jí)向高級(jí)、從簡單到復(fù)雜、從無序向有序的不斷優(yōu)化的動(dòng)態(tài)發(fā)展過程。 ? 例：神經(jīng)系統(tǒng)由神經(jīng)元互連形成， 連接以“突觸連接結(jié)構(gòu)” 實(shí)現(xiàn)，突觸有強(qiáng)弱、興奮與抑制、不同的神經(jīng)遞質(zhì)；連接不斷改變，形成 連接結(jié)構(gòu)變化 。也就是說，對(duì)于任一給定的概率 p，要么幾乎每一個(gè)圖都具有某個(gè)性質(zhì) Q（比如說，連通性），要么幾乎每一個(gè)圖都不具有該性質(zhì)。 LOGO 24 有兩篇開創(chuàng)性的文章可以看作是 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究 新紀(jì)元開始的 標(biāo)志 ： 一篇是美國康奈爾（ Cornell）大學(xué)理論和應(yīng)用力學(xué)系的博士生 Watts及其導(dǎo)師、非線性動(dòng)力學(xué)專家 Strogatz教授于 1998年 6月在 Nature雜志上發(fā)表的題為 《 “小世界”網(wǎng)絡(luò)的集體動(dòng)力學(xué) 》（ Collective Dynamics of ‘SmallWorld’ Networks）的文章； 另一篇是美國 Notre Dame大學(xué)物理系的 Barabāsi教授及其博士生 Albert于 1999年 10月在 Science雜志上發(fā)表的題為 《 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中標(biāo)度的涌現(xiàn) 》 （ Emergence of Scaling in Random Networks）的文章。 2）網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計(jì)量及與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的相關(guān)性 度分布的定義和意義，聚集性、連通性的統(tǒng)計(jì)量及其實(shí)際 意義等。 ④ 控制 ：提出改善已有網(wǎng)絡(luò)性能和設(shè)計(jì)新的網(wǎng)絡(luò)的有效方法，特別是穩(wěn)定性、同步和數(shù)據(jù)流通等方面。 ★ 研究表明，節(jié)點(diǎn)介數(shù)與度之間有很強(qiáng)的相關(guān)性，不同類型的網(wǎng)絡(luò)，其介數(shù)分布也大不一樣。 ?盡管如此，實(shí)際上這個(gè)理論并沒有得到嚴(yán)格的證實(shí)。有人稱他為 流浪學(xué)者 (wande ring scholar)。分形的構(gòu)成常遵循一種法則 :復(fù)雜的分形外形是由簡單的規(guī)則重復(fù)迭代生成的。 ?對(duì) 78萬個(gè)演員所做的統(tǒng)計(jì)：演員的最大 Bacon數(shù)僅僅為 8，平均 Bacon數(shù)僅為 。 LOGO 小 世界 實(shí)驗(yàn) — 六度分離 ?我們或許有過這樣的經(jīng)歷：偶爾碰到一個(gè)陌生人，同他聊了一會(huì)后發(fā)現(xiàn)你認(rèn)識(shí)的某個(gè)人居然他也認(rèn)識(shí)，然后一起發(fā)出”這個(gè)世界真小”的感嘆。（小世界效應(yīng)） LOGO 45 ? 介數(shù)（ Betweenness） ★ 點(diǎn)介數(shù) ：網(wǎng)絡(luò)中通過該節(jié)點(diǎn)的最短路徑的條數(shù) ★ 邊介數(shù) ：網(wǎng)絡(luò)中通過該邊的最短路徑的條數(shù) ★ 反映了節(jié)點(diǎn)或邊的作用和影響力。 LOGO 40 1）突破性進(jìn)展的主要原因 ① 越來越強(qiáng)大的計(jì)算設(shè)備和迅猛發(fā)展的 Inter，使得人們開始能夠 收集 和 處理 規(guī)模巨大且種類不同的實(shí)際網(wǎng)絡(luò) 數(shù)據(jù) 。 ?各個(gè)完全圖通過共用的節(jié)點(diǎn)（藥物）架起橋梁，構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)。這就是著名的“ 六度分離 ”（ six degrees of separation）推斷。 LOGO 19 ? 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)也是研究復(fù)雜系統(tǒng)的一種 技術(shù) 和 方法 ，它關(guān)注系統(tǒng)中個(gè)體相互作用的拓?fù)?結(jié)構(gòu) ，是理解復(fù)雜系統(tǒng)性質(zhì)和功能的基本方法。 結(jié)構(gòu)復(fù)雜性 表現(xiàn)為多元性，非對(duì)稱性，非均勻性，非線性（分岔 (Bifurcation) , 混沌(Chaos), 分形 Fractal）； 行為復(fù)雜性 表現(xiàn)為學(xué)習(xí)，自適應(yīng)性，混沌同步，混沌邊沿，隨機(jī)性等等； 認(rèn)識(shí)復(fù)雜性又稱為主觀復(fù)雜性，它表現(xiàn)為不確定性，描述復(fù)雜性與計(jì)算復(fù)雜性等等。 （例：不同角度分析系統(tǒng)，人） （ 2）系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是什么？ ? 一切系統(tǒng)的 基礎(chǔ) 結(jié)構(gòu)都是 網(wǎng)絡(luò) ； ? 一切系統(tǒng)的 核心結(jié)構(gòu) 都是 邏輯網(wǎng)絡(luò)； ? 復(fù)雜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)就是 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。 LOGO 二、復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò) 10 1. 復(fù)雜