【正文】 析 169。x Nx ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???4 4 44 41 431 3 1 14 11 133 3 34 31 33( 3 ) ~ , .xxNx? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???多元統(tǒng)計分析 169。 謝中華 , 天津科技大學數(shù)學系 . 2022/5/31 五 、 相關系數(shù)的極大似然估計 1. 極大似然估計的不變性 c o v ( , )( ) ( )i j i jiji j i i j jxxV a r x V a r x??????設參數(shù) 的極大似然估計是 ，變換 是一一對應的，則 的極大似然估計就是 ? ?? ()f???()f ? ?( ).f ?2. 簡單相關系數(shù)的極大似然估計 ??? ?ij ijij ijii jj ii jjanra n a n????? ? ?12211( ) ( )( ) ( )nk i i k j jknnk i i k j jkkx x x xx x x x???????????多元統(tǒng)計分析 169。 謝中華 , 天津科技大學數(shù)學系 . 2022/5/31 二 、 Wishart（ 威沙特 ） 分布 1. 定義 設 隨機向量12x , x , , xn相互獨立，且x ~ ( , )i p iN ? ?，1 , 2 , , , 0 , i n n p? ? ? ?. 令 1xxniiiW???? 稱隨機矩陣 W 所服從的分布為 自由度為 n 的 p 維非中心W ishart 分布 ，記為~ ( , , )pW W n Z?，其中1niiiZ ?????? ，這里i?稱為非中心參數(shù)。pnn Nnn ???② 多元統(tǒng)計分析 169。pN???② x。 多元統(tǒng)計分析 169。 謝中華 , 天津科技大學數(shù)學系 . 2022/5/31 ? ?11 ( x ) ( x )2tr A n ????? ?? ? ? ? ?????111 ( x ) ( x )22ntr A tr ????? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ?111 ( x ) ( x )22ntr A tr ????? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ?111 ( x ) ( x )22ntr A ?????? ?? ? ? ? ? ? ?????？ 11 , x2tr A ????? ? ? ? ????? 等 號 成 立？ 于是 ,m a x ( , ) m a x ( x , )LL? ???? ? ?多元統(tǒng)計分析 169。 注意： 性質(zhì) 3說明了多元正態(tài)分布的任何邊際分布仍為多元正態(tài)分布 ， 但反之不成立 。 謝中華 , 天津科技大學數(shù)學系 . 2022/5/31 第三章 多元正態(tài)分布 多元統(tǒng)計分析 169。 謝中華 , 天津科技大學數(shù)學系 . 2022/5/31 例 3 . 2 . 2 設 x ~ ( , )pN ? ? ， a 為 p 維常數(shù)向量 , 寫出 xa ? 的分布 ． 解 解 例 3 . 2 . 3 設 1 2 2x ( , ) ~ ( , )x x N ???? ， 這里 12,?? ???? ????試寫出 x1–x2的分布 。 謝中華 , 天津科技大學數(shù)學系 . 2022/5/31 三 、 樣本 的聯(lián)合概率密度 121( ) ( x , x , , x ) ( x )nniif X f f??? ?12x , x , , x n112211( 2 ) | | e x p ( x ) ( x )2pniii? ? ??? ???? ?? ? ? ? ? ??????1211( 2 ) | | e x p ( x ) ( x )2n npiii? ? ?? ???? ???? ? ? ? ? ????? ???由于 1111( x ) ( x ) ( x ) ( x )nni i i iiitr? ? ? ??????? ??? ? ? ? ? ? ?????？ 11( x ) ( x ) niiitr ???????? ? ? ????？ 11( x ) ( x )niiitr ?????? ?? ? ? ??????多元統(tǒng)計分析 169。 謝中華 , 天津科技大學數(shù)學系 . 2022/5/31 例 3. 3 . 1 設 x ~ ( , )pN ? ? ， 驗證 ? 和 ? 的極大似然估計 ?? 和 ?? 的無偏性 。 謝中華 , 天津科技大學數(shù)學系 . 2022/5/31 2. 性質(zhì) ( 1 ) 設 22 ~ ( , )T T p n ， 則 21~ ( , 1 )npT F p n ppn???? 當 1p ? 時， 2 ( 1 , ) ( 1 , )T n F n? . ( 2 ) 設 x ~ ( , )pN ? ?， ~ ( , )pW W n ?， 且 x 與 W 相互獨立 ， 則 ? ? ? ?12x x ~ ( , )n W T p n?? ???? 多元統(tǒng)計分析 169。 多元統(tǒng)計分析 169。 謝中華 , 天津科技大學數(shù)學系 . 2022/5/31 2. 性質(zhì) ( 1 ) 設 隨機 矩陣12 , , , kW W W相互獨立，且 ~ ( , )i p iW W n ?，1 , 2 , ,ik? . 則 1 2 1 2~ ( , )k p kW W W W n n n? ? ? ? ? ? ? ( 2 ) 設 隨機 矩陣 ~ ( , )pW W n ?，qpC ?為常數(shù)矩陣 ， 則 ~ ( , )pC W C W n C C?? ? 證明： 令1xxniiiW??? ? ，其中12x , x , , x ~ ( 0 , )iidnpN ?， 則 ? ? ? ?11x x x xnni i i i iiiC W C C C C C???? ? ??? ?? . 這里12x , x , , x ~ ( 0 , )iidnpC C C N C C ??， 所以由 W ishart 定義知 ~ ( , )pC W C W n C C?? ? 多元統(tǒng)計分析 169。 謝中華 ,