【正文】 1,0 ??(4) ????????????miikiikmiinnikmiiikmiixyxxaxxaxxa00011000)()()()()()()(??????? ?nk ,1,0 ??即 華長(zhǎng)生制作 12 元線性方程組的是一個(gè)關(guān)于顯然 1,)4( 10 ?naaa n?引入記號(hào) ))(,),(),((10 mrrr xxx ??? ??r?),( 10 myyy ??f)()(),(0ijmiikjk xx ???? ???則由內(nèi)積的概念可知 imiikk yxf ???0)(),( ??(5) (6) ),( jk ?? ),( kj ???顯然內(nèi)積滿足交換律 華長(zhǎng)生制作 13 方程組 (4)便可化為 ),(),(),(),( 1100 faaa knknkk ??????? ???? ?nk ,1,0 ??(7) 的線性方程組常數(shù)項(xiàng)為這是一個(gè)系數(shù)為 ),(),( fkjk ???將其表示成矩陣形式 ??????????????naaa?10???????????????),(),(),(10fffn???????????????? ),(),(),( 01000 n?????? ?),(),(),( 11101 n?????? ?),(),(),( 10 nnnn ?????? ????(8) 華長(zhǎng)生制作 14 上的法方程組在點(diǎn)式為函數(shù)序列稱mnxxxxxx,)(,),(),()8(1010?? ???的基為函數(shù)類由于 ?)(,),(),( 10 xxx n??? ?必然線性無(wú)關(guān)因此 )(,),(),( 10 xxx n??? ?并且其系數(shù)矩陣為對(duì)稱陣 所以法方程組的系數(shù)矩陣非奇異 ,即 0])),d e t [ ( ( ?? nnji ??根據(jù) Cramer法則 ,法方程組有唯一解 *,*,*, 1100 nn aaaaaa ??? ?華長(zhǎng)生制作 15 *),*,*,( 10 naaa ??? ?? ???miinjijj yxa020))(( ?),( 10 naaa ??即 是 的最小值 22*????miii yxS02))(*( ??????miiixS yxS02)())((mi n22)(m in ???? xS所以 ? ?? ??miinjijj yxa020))(*( ? ? ?? ?????miinjijjxS yxa020)())((m i n ?? ?? ???miinjijj yxa020))(*( ?為最小二乘解???njjj xaxS0* )()(* ?因此 華長(zhǎng)生制作 16 的擬合函數(shù)作為常使用多項(xiàng)式 ),1,0)(,()()( miyxxPxS iin ???作為一種簡(jiǎn)單的情況 , 的基函數(shù)為擬合函數(shù) )()( xPxS n?,1)(0 ?x? ,)(1 xx ?? ,)(, ?? kk xx ?? nn xx ?)(?基函數(shù)之間的內(nèi)積為 )()(),(0ijmiikjk xx ???? ??? ???mijiki xx0????mijkix0imiikk yxf ???0)(),( ?? ???miiki yx0?22*?平方誤差 ???miii yxS02))(*( ????njjj faff0),(*),( ?華長(zhǎng)生制作 17 例 1. 回到本節(jié)開(kāi)始的實(shí)例 ，從散點(diǎn)圖可以看出 纖維強(qiáng)度和拉伸倍數(shù)之間近似與線性關(guān)系 xaaxy 10)( ??故可選取線性函數(shù) 為擬合函數(shù)，其基函數(shù)為 1)(0 ?x? xx ?)(1?建立法方程組 根據(jù)內(nèi)積公式，可得 華長(zhǎng)生制作 18 24),( 00 ??? ),( 10 ??? ),( 11 ???),( 0 ?f? ),( 1 ?f?法方程組為 ?????? ??????10aa ???????1 50 ?a即為所求的最小二乘解xxy )(* ??8 5 8 ?a解得 * 22 ??平方誤差為 華長(zhǎng)生制作 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10123456789擬合曲線與散點(diǎn) 的關(guān)系如右圖 : 華長(zhǎng)生制作 20 例 2. 求擬合下列數(shù)據(jù)的最小二乘解 x=.24 .65 .95 y=.23 .27 .10 . 1 解 : 從數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出 xxy c o s之間具有三角函數(shù)關(guān)系與xexy 系之間還