【正文】 )＋ 37x ＝ 0 等價(jià)于方程 2x3－ 10x2＋ 37＝ 0. 設(shè) h(x)＝ 2x3－ 10x2＋ 37，則 h′ (x)＝ 6x2－ 20x＝ 2x(3x－ 10)． 當(dāng) x∈ ?? ??0， 103 時(shí)， h′ (x)＜ 0， h(x)是減函數(shù)；當(dāng) x∈ ?? ??103 ，＋ ∞ 時(shí)， h′ (x)＞ 0， h(x)是增函數(shù)． ∵ h(3)＝ 1＞ 0， h?? ??103 ＝－ 127＜ 0， h(4)＝ 5＞ 0， ∴ 方程 h(x)＝ 0 在區(qū)間 ?? ??3， 103 ， ?? ??103 ， 4 內(nèi)分別有唯一實(shí)數(shù)根，而在區(qū)間 (0,3)， (4，＋ 8 ∞ )內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以存在唯一的自然數(shù) m＝ 3，使得方程 f(x)＋ 37x ＝ 0 在區(qū)間 (m， m＋ 1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根． 變式訓(xùn)練 已知函數(shù) f(x)＝ 12x2－ alnx(a∈ R)． (1) 若函數(shù) f(x)在 x＝ 2 處的切線(xiàn)方程為 y＝ x＋ b，求 a， b 的值； (2) 若函數(shù) f(x)在 (1，＋ ∞ )上為增函數(shù)，求 a 的取值范圍； (3) 討論方程 f(x)＝ 0 的解的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由． 解： (1) 因?yàn)?f′ (x)＝ x－ ax(x0)， 又 f(x)在 x＝ 2 處的切線(xiàn)方程為 y＝ x＋ b， ∴ ????? 2－ a2＝ 1，2－ aln2＝ 2＋ b，解得 a＝ 2， b＝－ 2ln2. (2) 若函數(shù) f(x)在 (1，＋ ∞ )上為增函數(shù)，則 f′ (x)＝ x－ ax≥ 0在 (1，＋ ∞ )上恒成立，即 a≤ x2在 (1，＋ ∞ )上恒成立，所以有 a≤ 1. (3) 當(dāng) a＝ 0 時(shí)， f(x)在定義域 (0，＋ ∞ )上恒大于 0，此時(shí)方程無(wú)解． 當(dāng) a0 時(shí)， f′ (x)＝ x－ ax0 在 (0，＋ ∞ )上恒成立，所以 f(x)在 (0，＋ ∞ )上的增函數(shù)． ∵ f(1)＝ 120， f?? ??e1a ＝ 12e2a－ 10， ∴ 方程有唯一解． 當(dāng) a0 時(shí)， f′ (x)＝ x－ ax＝ x2－ ax ＝?x＋ a??x－ a?x . 因?yàn)楫?dāng) x∈ (0， a)時(shí)， f′ (x)0， f(x)在 (0， a)內(nèi)為減函數(shù)； 當(dāng) x∈ ( a，＋ ∞ )時(shí)， f(x)在 ( a，＋ ∞ )內(nèi)為增函數(shù)． 所以當(dāng) x＝ a時(shí)， f(x)有極小值，即為最小值 f( a)＝ 12a－ aln a＝ 12a(1－ lna)． 當(dāng) a∈ (0， e)時(shí)， f( a)＝ 12a(1－ lna)0，方程無(wú)解； 當(dāng) a＝ e 時(shí)， f( a)＝ 12a(1－ lna)＝ 0，此方程有唯一解 x＝ a. 當(dāng) a∈ (e，＋ ∞ )時(shí)， f( a)＝ 12a(1－ lna)0，因?yàn)?f?? ??12 0 且 a1， 所以方程 f(x)＝ 0 在區(qū)間 (0， a)上有唯一解． 因?yàn)楫?dāng) x1 時(shí)， (x－ lnx)′ 0，所以 x－ lnx1，所以 xlnx. f(x)＝ 12x2－ alnx12x2－ ax，因?yàn)?2a a1，所以 f(x)12(2a)2－ 2a2＝ 0， 所以方程 f(x)＝ 0 在區(qū)間 ( a，＋ ∞ )上有唯一解． ∴ 方程 f(x)＝ 0 在區(qū)間 (e，＋ ∞ )上有兩解． 綜上，當(dāng) a∈ (0， e)時(shí)，方程無(wú)解； 當(dāng) a0 或 a＝ e 時(shí)，方程有唯一解； 當(dāng) ae 時(shí)，方程有兩解． 9 高 考回顧 1. [0,2] 解析：作出可行域，設(shè) z＝ OA→ － 60176。方向的 B2處，此時(shí)兩船相距 10 2海里，問(wèn)乙船每小時(shí)航行多少海里？ 【例 3】 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，設(shè)二次函數(shù) f(x)＝ x2＋ 2x＋ b(x∈ R)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為 C. (1) 求實(shí)數(shù) b 的取值范圍； (2) 求圓 C 的方程； (3) 問(wèn)圓 C 是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn) (其坐標(biāo)與 b 無(wú)關(guān) )？請(qǐng)證明你的結(jié)論． 【例 4】 已知 f(x)是二次函數(shù)，不等式 f(x)0 的解集是 (0,5) ，且 f(x)在區(qū)間 [－ 1,4]上的最大值是 12. (1) 求 f(x)的解析式； 3 (2) 是否存在自然數(shù) m 使得方程 f(x)＋ 37x ＝ 0 在區(qū)間 (m， m＋ 1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出 m 值；若不存在，說(shuō)明理由． 1. (2022OM→ ，則 z＝－ x＋ y，作出 l0：－ x＋ y＝ 0，平移 l0，知 l 過(guò)點(diǎn) (1,1)時(shí)， zmin＝ 0，過(guò) (0,2)時(shí)， zmax＝ 2， ∴ OA→ x222＝ (1－ y21)(1－ y22)＝ 1－ (y21＋ y22)＋ y21y22，故 y21＋ y22＝ 1. 5 又 ?? ??x21