【正文】 ? xx xxtxx 111232 ????令 ?????? txtx 時，當(dāng)則 ,2121)11(li m ??? ? tt t原式＝ 21)11(lim)11(lim ttttt ??? ????＝e?112 3 2lim ( ) lim ( 1 )2 1 2 1xxxxxxx??? ? ? ?? ????11()221l i m ( 1 )12xxx???????e?解法 2： 型未定式的極限 , 分析 這是 ?1 解決方法是利用重要極限。 0a r c t a nlim1lima r c t a n1lim ??? ?????? xxxx xxx0a r c t a n1lima r c t a n1lim ?? ?????? xxxx xx因為 0a r c t a n1l i m ??? xxx所以 因為 l i m a r c t a n l i m a r c t a n? ? ? ? ? ??xx xx，故 并不存在， li a r c t n??x x所以不能應(yīng)用極限存在準(zhǔn)則。 或利用變量替換法。 ??解法 2： 11l i m a r c t a n l i m l i m a r c t a n 0 ( ) 02x x xxxxx?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?11l i m a r c t a n l i m l i m a r c t a n 0 02x x xxxxx?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?解法 1: 因為 ， 所以 是 時的無窮小， 1lim 0?? ?x x1x ??x而 為有界函數(shù)，由有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小，知 arctan x1lim a r c t a n 0?? ?x xx【 例 4】 計算 1li m ar c t an??x xx注意：下面的計算是錯誤的。 分析 分子分母均趨于 0，不能運用運算法則，適當(dāng)作恒等變形，再利用等價無窮小代換。 ( ), ( )f x g x()lim()??xfxgx1li m 0 ( 0 )?? ??kx kx34? 解： )1(lim 2 xxxx ?????xxxx ?????? 1l i m21)1(11l i m2 ??????xx21?如果改為： ???x 結(jié)果如何？ 思考 【 例 3】 計算 )1(lim 2 xxxx ?????分析 由于函數(shù)中含有根式，可利用分子有理化變形，可變成 的形式。 解： 30s i nt a nlimxxxx??30)c o s1(t a nlimxxxx????320)21(l i mx