【正文】 量 a，b(b≠ 0)， a∥ b的充要條件是存在實(shí)數(shù) λ使 . 若兩個(gè)向量 a， b不共線，則向量 p與 a， b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(duì) (x，y)，使 . 互相平行或重合 共線向量 同一個(gè)平面 a＝ λb p＝ xa＋ yb 第三章 空間向量與立體幾何 人教 A 版數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 人教 A 版數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 人教 A 版數(shù)學(xué) [例 1] 已知 ABCD為正方形， P是 ABCD所在平面外一點(diǎn)， P在平面 ABCD上的射影恰好是正方形 ABCD的中心 是 CD的中點(diǎn)，求下列各式中 x、 y的值： 第三章 空間向量與立體幾何 人教 A 版數(shù)學(xué) [分析 ] 由題目可以獲取以下主要信息： ① ABCD是正方形 ， O為中心 ， PO⊥ 面 ABCD， Q為 CD中點(diǎn)； ② 用已知向量表示指定向量 ． 解答本題需準(zhǔn)確畫(huà)圖 ， 先利用三角形法則或平行四邊形法則表示出指定向量 ， 再根據(jù)對(duì)應(yīng)向量的系數(shù)相等 ． 求出 x、 y即可 ． 第三章 空間向量與立體幾何 人教 A 版數(shù)學(xué) [解析 ] 如圖， 第三章 空間向量與立體幾何 人教 A 版數(shù)學(xué) ( 1) ∵ OQ→＝ PQ→－ PO→＝ PQ→－12( PA→＋ PC→) ＝ PQ→－12PA→－12PC ， ∴ x ＝ y ＝－12. ( 2) ∵ PA→＋ PC→＝ 2 PO→， ∴ PA→＝ 2 PO→－ PC→. 又 ∵ PC→＋ PD→＝ 2 PQ→， ∴ PC→＝ 2 PQ→－ PD→. 從而有 PA→＝ 2 PO→－ (2 PQ→－ PD→) ＝ 2 PO→－ 2 PQ→＋ PD→. ∴ x ＝ 2 ， y ＝－ 2. 第三章 空間向量與立體幾何 人教 A 版數(shù)學(xué) [ 點(diǎn)評(píng) ] 應(yīng)用向量的加減法法則和數(shù)乘運(yùn)算表示向量是向量在幾何中應(yīng)用的前提，應(yīng)熟練掌握．本題 ( 1) 中的突破點(diǎn)是 O 為 AC 的中點(diǎn)，由平行四邊形法則知 PO→＝12( PA→＋PC→) ，該公式可看作向量形式的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，進(jìn)行向量表示時(shí)要注意向選定向量的轉(zhuǎn)化方法． ( 2) 中是對(duì)中點(diǎn)坐標(biāo)公式的逆用，同時(shí)也運(yùn)用了數(shù)乘運(yùn)算． 第三章 空間向量與立體幾何 人教 A 版數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 人教 A 版數(shù)學(xué) [ 例 2] 如圖所示， AB CD － ABEF 都是平行四邊形，且不共面， M 、 N 分別是 AC 、 BF 的中點(diǎn)，判斷 CE→與 MN→是否共線？ 第三章 空間向量與立體幾何 人教 A 版數(shù)學(xué) [ 分析 ] 要判斷 CE→與 MN→是否共線，由共線向量定理就是判定是否存在實(shí)數(shù) x ，使 CE→＝ x MN→. 若存在則 CE→與 MN→共線，否則 CE→與 MN→不共線． 第三章 空間向量與立體幾何 人教 A 版數(shù)學(xué) [ 解析 ] M 、 N 分別是 AC 、 BF 的中點(diǎn)，而 A BCD 、ABEF 都是平行四邊形， ∴ MN→＝ MA→＋ AF→＋ FN→＝12CA→＋ AF→＋12FB→. 又 ∵ MN→＝ MC→＋ CE→＋ EB→＋ B