【正文】 ? ? ? ?? ? ? ? ???將包含度定理中的 A、 B分別用 和 代替，并注意到交集 是并集 的子集，即可證得。直覺(jué)上，當(dāng)A接近 F(2B)時(shí) , S(A,B)應(yīng)接近于 1，當(dāng) A遠(yuǎn)離 F(2B)時(shí) , S(A,B)應(yīng)該減小。 1( ) ( )n BiiV B m x?? ? B的所有模糊子集構(gòu)成集合 ——模糊冪集 F(2B)，它構(gòu)成了在單位超立方體中倚著原點(diǎn)的規(guī)則的超長(zhǎng)方形，其邊寬等于各隸屬度值mB(xi) 。當(dāng) A到達(dá)中點(diǎn)時(shí)，所有四個(gè)點(diǎn) 匯聚到中點(diǎn)處 (模糊黑洞 )。 cAA ???cA A X?? AA?()( | )()P A BP B APA??cAA?cAA?( | ) ( | ) 0ccP A A A A P X?? ? ? ?2. 隨機(jī)與模糊：是否與多少 模糊是事件發(fā)生的程度。 ( ) P r { }Am x o b x A??二、模糊集合的幾何圖示： sets as points 將論域 X的所有模糊子集的集合 —— 模糊冪集合 看成一個(gè)超立方體 ，將一個(gè)模糊集合看成是立方體內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)。 兩個(gè)模糊集合 A和 B的 距離： 距離就是如上圖所示的歐幾里德距離。直觀上，我們認(rèn)為 A很大程度上是 B的子集。由此可證得一般性勾股定理。 圖示二維的熵 包含度定理。非子集 A1, A2 , A3, 分別位于不同的象限。而上述二值定義下的子集性忽略了這一點(diǎn)。模糊立方體將 Aristotelian集合“流放”到頂點(diǎn)處。用模糊代表不確定性的結(jié)果將是震撼的，人們需 要重新審視現(xiàn)實(shí)模型。 不精確的橢圓 概率上的橢圓還是模糊的橢圓？沒(méi)有隨機(jī)性的問(wèn)題，所以屬于模糊問(wèn)題。 Proposition: A is properly fuzzy iff iff cA A X??cAA ???( 1 / 3 , 3 / 4 ) , ( 2 / 3 , 1 / 4 ) , ( 1 / 3 , 1 / 4 ) , ( 2 / 3 , 3 / 4 )c c cA A A A A A? ? ? ? ? ?完善模糊正方形 三、模糊集合的大小 —— 基數(shù) 1( ) ( )n AiiM A m x?? ?A=(1/3,3/4)的基數(shù)等于 M(A)=1/3+3/4=13/12?？紤]到集合 A屬于 F(2B)的不同程度，通過(guò) 抽象隸屬度函數(shù) 來(lái)定義包含度： S(.,.)在 [0,1]之間取值，其代表了多值的包含度的測(cè)量，是模糊理論中的基本的、標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)構(gòu)。西北和東南象限是混合主導(dǎo)隸屬度函數(shù)的長(zhǎng)方形，而西南和東北象限則是“純”的長(zhǎng)方形。交集 是并集 的子集。而離東北象限中的點(diǎn) A2距離最近的點(diǎn) B*就是B自身。而只有第一個(gè)元素違背了主導(dǎo)隸屬度函數(shù)關(guān)系，使得mA(x1)mB(x1)。 M(A)等于從原點(diǎn)到 A的矢量的模糊漢明范數(shù) (l1范數(shù) )。概率論是一種有限測(cè)量理論。隨機(jī)是事件是否發(fā)生的不確定性。越靠近最近的頂點(diǎn)， A就越確定?？梢远攘?F(2B)的大小或體積 V(B)，為隸屬度值的乘積： ： 在圖 ，點(diǎn) A可以是長(zhǎng)方形內(nèi)的點(diǎn)，也可以不是。 那么 A與 F(2B)之間的距離如何計(jì)算？