【正文】 ?lmllllmlllllllllmlmTm???????????????????? ? ? 2121421144 2121 ?? ?lmdtldmT m ???????? ? ? ? ?? ?2212122222121522252221155c o s4421c o s221s i n221???????????? llllmdtldmdtlldmTm???????????????? ?? 可以得到系統(tǒng)動能： 姓名：論文題目 2021 年 18 / 38 ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?2212122222121521214212132123232232322223323232232322223313122121212132323321212212222222121212122222222222121154321c o s44212121s i ns i n4s i ns i n461c o s44c o s2c o s42161213s i n2c o s2216161????????????????????????????????????????????????????????????llllmlmlmllllmlllllllllmlmlmlmllllmlmlmTTTTTTmmmmm???????????????????????????? 系統(tǒng)的勢能為：（以水平桿所在的位置為零能位置） ? ? 22533223222 54321 c os20c osc os2c os0 ???? glmllgmglm VVVVVV mmmmm ?????? ????? 至此得到拉格朗日算子 L : ? ?? ?22221213212122122222221212121222222222221211c os21213s i n2c os2216161????????????glmlmlmlmllllmlmlmVTL???????????????????? 由于在廣義坐標(biāo) 2? 上無外力作用，有以下等式成立： 022???????????? ?? ?? LLdtd ? (1) 033???????????? ?? ?? LLdtd ? (2) 展開 (1)、 (2)式，得到 (3)、 (4)式如下： 0s i n2s i n2s i n24242342252232221215222533232223121312122222????????????????????glmglmglmllmlmllmlmllmllmlm ?????????????? (3) 0s i n234 333232332331313 ????? ???? glmllmlmllm ?????? (4) 將 (3)式對 2?? 求解代數(shù)方程，得到下式： 2021 年 中國地質(zhì)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 19 / 38 ? ?25323325321153224342322221lmmmgmgmmmlmmm?????? ???????????? ??????????? （ 5） 將 (4)式對 3?? 求解代數(shù)方程，得到下式： ? ? ? ? ? ??????? ??????????2533325325321123335444512216632119mmmlmmmmmmglmlm ???? ???? （ 6） 表示成以下形式： ? ?32132112 , ??????? ????? f? （ 7） ? ?32132123 , ??????? ????? f? （ 8） 取平衡位置時(shí)各變量的初值為零， ? ? ? ?0,0,0,0,0,0, 321321 ??????? ??? 將 (5)式在平衡位置進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，并線性化，令 00,0,0,0,0,0,01111 1321321 ???? ??????? ???????? ?????fK ? ?25325320,0,0,0,0,0,02112434221321321 lmmmgmmmfK?????? ??????????????? ???????? ????? 253230,0,0,0,0,0,03113434321321321 lmmmgmfK?????? ??????? ??????? ???????? ????? 00,0,0,0,0,0,01114 1321321 ???? ??????? ???????? ??????fK 00,0,0,0,0,0,02115 1321321 ???? ??????? ???????? ??????fK 00,0,0,0,0,0,03116 1321321 ???? ??????? ???????? ??????fK 姓名：論文題目 2021 年 20 / 38 ?????? ???????? ?????? ???????53215320,0,0,0,0,0,011174342211321321 mmmlmmmfK ???????? ??????? 帶入 (5)式，得到線性化之后的公式： 1173132122 ???? ???? KKK ??? （ 9） 將 (6)式在平衡位置進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，并線性化，令 00,0,0,0,0,0,01221 1321321 ???? ??????? ???????? ?????fK ? ??????? ????????????????25335320,0,0,0,0,0,02222354426631321321 mmmlgmmmfK???????? ????? ? ??????? ????????????????25335320,0,0,0,0,0,0322335444122151321321 mmmlgmmmfK???????? ????? 00,0,0,0,0,0,01224 1321321 ???? ??????? ???????? ??????fK 00,0,0,0,0,0,02225 1321321 ???? ??????? ???????? ??????fK 00,0,0,0,0,0,03226 1321321 ???? ??????? ???????? ??????fK ? ??????? ???????????????25331320,0,0,0,0,0,01227354449111321321 mmmllmmfK???????? ??????? 帶入 (6)式，得到線性化之后的公式： 1273232223 ???? ???? KKK ??? （ 10） 現(xiàn)在得到了一個(gè)線性微分方程，我們采用角加速度作為輸入，因此還需加上一個(gè)方程 1???u （ 11） 取狀態(tài)變量如下： 11 ??x 2021 年 中國地質(zhì)大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 21 / 38 22 ??x 33 ??x 14 ???x 25 ???x 36 ???x 由 (9)， (10)， (11)式得到狀態(tài)空間方程如下： uKKxxxxxxKKKKxxxxxx??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????271765432123221312654321100000000000000000100000010000001000?????? uxxxxxxy?????????????????????????????????????????????????????000000100000010000001654321321??? 線性二次型最優(yōu)控制器（ LQR）的設(shè)計(jì) 對于線性系統(tǒng)， 若取狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分作為性能指標(biāo)函數(shù)時(shí)， 這種動態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)化問題稱為線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問 題， 簡稱線性二次型問題。 拉格朗日方程由廣義坐標(biāo) iq 和 L表示為： () 其中 ni ?3,2,1? ， if 為系統(tǒng)沿該廣義坐標(biāo)方向上的外力。 環(huán)形二級倒立擺的閉環(huán)控制回路如下圖 ， 姓名：論文題目 2021 年 10 / 38 圖 環(huán)形二級倒立擺的閉環(huán)控制回路 其中編碼器 1連接在伺服電機(jī)，主要用來檢測水平擺桿的角度，編碼器 2用來采集下擺桿的角度，編碼器 3用來采集上擺桿相對于下擺桿的旋轉(zhuǎn)角度。 （ 8）模糊控制 [13]主要是確定模糊規(guī)則設(shè)計(jì)出模糊控制器，實(shí)現(xiàn)對倒立擺的控制。近年來，雖然各種新型倒立擺不斷問世，但是可自主研發(fā)并生產(chǎn)倒立擺裝置的廠家并不多。 本學(xué)位論文屬于 保密 □ ，在 _________年解密后適用本授權(quán)書。 先是查找大量和倒立擺相關(guān)的資料，把做本實(shí)驗(yàn)需要運(yùn)用的知識復(fù)習(xí)和自學(xué)一遍，參考部分倒立擺已有的程序和視頻來為自己的實(shí)驗(yàn)做一個(gè)鋪墊。 當(dāng)前倒立擺的控制方法可分為以下幾類： （ 1）狀態(tài)反饋控制 [6]基于倒立擺的動力學(xué)模型，使用狀態(tài)空間理論推導(dǎo)出狀態(tài)方程和輸出方程，應(yīng)用狀態(tài)反饋，實(shí)現(xiàn)對倒立擺的控制。而并聯(lián)倒立擺系統(tǒng)是指多個(gè)擺桿底端都連接在“小車”上，呈并聯(lián)形式連接。 建立數(shù)學(xué)模型有兩種方法 :一種是從基本物理定律，即利用各個(gè)專門學(xué)科領(lǐng)域提出來的物質(zhì)和能量的守恒性和連續(xù)性原理，以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)推導(dǎo)出模型。 狀態(tài)空間模 型 現(xiàn)代控制理論是在引入狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。 線性二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)是基于