【正文】 （ 225） 取 0000()iikkz r e R e??? 0,1,..., 1kL??，則式（ 225）可以化 為： 001 000( ) ( ) ( ) ( )N iin n kk nX z x n r e R e??? ???? ? 0,1,..., 1kL?? （ 226） 公式（ 226）就是線性調(diào)頻 z 變換的公式?？偟膩?lái)講，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一些精心設(shè)計(jì)的插值函數(shù)，可以使得才有 DF 法重建圖像質(zhì)量不亞于采用 CBP 法重建圖像 質(zhì)量，但是這些插值函數(shù)往往較復(fù)雜，在本文中不予討論。如圖 32 所示，設(shè) Ap 、 Bp 、 Cp 、 Dp 分別為 A、 B、 C、 D 沿徑向方向的偏導(dǎo)數(shù)，則沿徑向方向的點(diǎn) E、 F估計(jì)值為： 23( 3 ( ) 2 ) + ( 2( ) ) ( 3 3)E A A B A B AB A B AF F p EA F F p p EAF F p p EA? ? ? ? ? ?? ? ? ? 23( 3 ( ) 2 ) + ( 2( ) ) ( 3 4)F C C D C D CD C D CF F p EA F F p p EAF F p p EA? ? ? ? ? ?? ? ? ? 然后利用式（ 32）沿相角方向進(jìn)行線性插值得到 P點(diǎn)的值。在這里，我將簡(jiǎn)單討論對(duì)比這兩種 重建方法 [9]。表 32顯示了這兩種方法重建圖像的 客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)。該算子對(duì) (, )xy 空間的函數(shù) ( , )f xy 作用產(chǎn)生 ( , )x?? 空間的另一個(gè)函數(shù) ( , )px?? 。 在這里我們沒(méi)有采用 DFT作為投影的頻譜分析， 因?yàn)?DFT對(duì)頻段 的抽樣密度 不夠，這樣導(dǎo)致插值誤差較大。觀察式（ 214）， 在我們的實(shí)驗(yàn)中獲取的投 影數(shù)據(jù)，可以令 △ t = 1, △ d = 1/(128*N),其中 N為重建圖像大小，在我們的試驗(yàn)中 N 均取 256。 如果注意到 xoy 坐標(biāo)與它的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo) xoy??的關(guān)系，即式（ 312） c o s s ins in c o sxxyy???? ? ?? ? ??? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? ? （ 312）那么式（ 311）的 Radon變換式可以寫作 式（ 313） ： ( , ) ( , ) ( c o s s in , s in c o s )p x f x y d y f x y x y d y? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? （ 313）其中 ( , )x?? ?? ?? ， [0, )??? 。當(dāng)然，兩種方法也有微小的不同。 表 31 重建圖像 質(zhì)量評(píng)價(jià)參數(shù)對(duì)比 插值方法 最近點(diǎn)插值 雙線性插值 二階樣條線性插值法 歸一化均方距離 歸一化平均絕對(duì)距離 最壞情況距離 14 7 7 （ a）最近點(diǎn)插值 （ b）雙線性插值 第 12 頁(yè) （ c）混合二階 樣條插值 （ d）最近點(diǎn)插值局部放大 （ e）雙 線性插值局部放大 （ f） 混合二階 樣條插值局部放大 圖 33 三種插值法重建圖像以及其局部放大圖 與卷積反投影算法等效的直接傅里葉重建插值方法 由于卷積反投影法不但能重建出較好的圖像質(zhì)量，并且它的計(jì)算復(fù)雜度也在能夠接受的范圍內(nèi)，因此幾乎所有現(xiàn)代的 CT 機(jī)中使用的重建算法都是卷積反投影法。 在這三種插值法中，重建圖像質(zhì)量最好的插值方法是三次樣條插值法，但是三次樣條插值法計(jì)算量較大。 其中最近點(diǎn)插值法最簡(jiǎn)單，但是誤差也最大，三次樣條插值法重建得到的圖像質(zhì)量最好。 線性調(diào)頻 z 變換 （ CZT） 離散傅里葉變換（ DFT）可以看作是 N 點(diǎn)的序列 ()xn 的 z 變換在單位圓上等間隔取樣 N點(diǎn)。這種方法與 ART 不同的是，它試圖通過(guò)減慢迭代收斂的速度，來(lái)取得 比 ART 法更好的重建圖像。 文獻(xiàn)中有多種形式的 ART（ Algebraic Reconstruction Techniques） ，由于各種 ART 算法本質(zhì)都相似，我在算法比較中只采取最常見(jiàn)的一種 ART—— 加型 ART（ ART II）。 （ 3）對(duì)式（ 214）進(jìn)行離散化，則可以得到重建圖像的離散公式如下： 2 ( )( , ) ( , )KK j s k u x r l v ys K r Kf k x l y u v F s u r v e? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? （ 216） 代數(shù)重建算法 卷積反投影算法與直接傅立葉算法都是變換法重建圖像。也可以對(duì) ()RLh nd? 進(jìn)行精確的 sinc 函數(shù)內(nèi)插，得到 ()R L rhx? ，但是由于運(yùn)算復(fù)雜，在實(shí)踐中一般不使用，在我們的仿真試驗(yàn)中也采取對(duì) ()RLh nd? 進(jìn)行線性內(nèi)插重建圖像。從數(shù)學(xué)表達(dá)式看， Radon 反變換法與卷積反投影法等效，因此我們沒(méi)有仿真 Radon 反變換重建方法，而只使用卷積反投影法重建圖像。 接著論文證明了可以采用一種插值方法使得 DF法與 CBP法等效，從而表明 有可能 找到更好的插值方法使得 DF法重建圖像質(zhì)量?jī)?yōu)于 CBP法。 CT 起源于醫(yī)學(xué)成像，隨著 CT 技術(shù)的發(fā)展， CT 技術(shù)的應(yīng)用也深入到重建圖像的科學(xué)和 第 2 頁(yè) 技術(shù)的其他各個(gè) 領(lǐng)域。從多個(gè)投影數(shù)據(jù)重建圖像的數(shù)學(xué)公式可以追溯到澳大利亞的數(shù)學(xué)家 Radon，他在1917 年用數(shù)學(xué)證明從無(wú)限多投影數(shù)據(jù)可以重建出原來(lái)的圖像。它廣泛應(yīng)用于診斷醫(yī)學(xué)、射電天文學(xué)、電子顯微和雷達(dá)等多科學(xué)領(lǐng)域。卷積反投影（ CBP）、直接傅立葉重建（ DF）以及代數(shù)重建算法（ ART）同為典型的 CT重建算法。 CT經(jīng)過(guò)三十多年的發(fā)展以后，再次成為醫(yī)學(xué)圖像領(lǐng)域中最令人興奮地診斷方法之一。第二代掃描設(shè)備仍然是一臺(tái)平移 —— 旋轉(zhuǎn)掃描機(jī)，然而由于利用了多個(gè)筆形束使 得 所需旋轉(zhuǎn)的步數(shù)減少了。 CT 圖像重建 圖像重建技術(shù)是 CT 技術(shù)中的一個(gè)重要問(wèn)題。常見(jiàn)的有：反投影重建算法；濾波反投影重建算法；直接傅立葉變換重建算法；迭代 重建算法等。為了更清楚的對(duì) ()rhx 的選擇進(jìn)行討論，我 們轉(zhuǎn)到頻域去討論。這樣如何求任意的 rx 時(shí)的 ( , )rPx m?便成為問(wèn)題的關(guān)鍵。 代數(shù)重建算法是迭代重建算法的一種。文獻(xiàn)表明， ARTⅡ在 M≥ N時(shí)，按照式（ 220）進(jìn)行迭代并不能保證收斂。即 SIRT 努力使解 μ滿足滿足最小二乘方準(zhǔn)則，也就是說(shuō)使得式（ 222）有最小值。 由公式（ 226）可以看出 CZT 的一些性質(zhì) ： 當(dāng) 001rR??時(shí)， CZT 變換路徑為單位圓上一段圓弧，但是變換之后的點(diǎn)數(shù) L 不一定等于原序列點(diǎn)數(shù) N ； 當(dāng) 0 1r? 時(shí)， CZT 變換起始點(diǎn)在單位圓外，當(dāng) 0 1r? 時(shí)， CZT 變換起始點(diǎn)在單位圓內(nèi)； 當(dāng) 0 1R? 時(shí)， CZT 變換向外螺旋擴(kuò)展，當(dāng) 0 1R? 時(shí)， CZT 變換向內(nèi)螺旋擴(kuò)展。在我們的仿真試驗(yàn)中，采用的是最簡(jiǎn)單的最近的插值法，實(shí)現(xiàn)高精度重建圖像。 選取 SheppLogan 頭部模型作為仿真原模型，投影數(shù)據(jù)為 367 360，重建圖像大小為 第 11 頁(yè) 256 256。 在平行束 CT 中，圖像的投影是從各種不同方向采集到的。 第 14 頁(yè) 然而 式（ 310）的插值法計(jì)算復(fù)雜度為 4()On ，這使得利用 這種插值法的 DF 算法其復(fù)雜度要高于 CBP 算法，因此這種算法沒(méi)有很大的實(shí)用性。與 CT問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)， Radon在不同的 CT系統(tǒng)中具有不同的物理含義。而 CZT能夠滿足我們對(duì)提高頻段抽樣密度的要求，因此我們選擇使用 CZT作為對(duì)數(shù)據(jù)的頻譜分析。 圖 36 投影數(shù)據(jù)圖像 圖 36為修改過(guò)的 SheppLogan模型的投影數(shù)據(jù)，其中原圖為 256256, 投影數(shù)據(jù)為 367 180，在本文后面三種方法的對(duì)比中，采用的投影數(shù)據(jù)均采用這種方法獲得，并且投影數(shù)據(jù)都為 367 360. 投影數(shù)據(jù)一維傅里葉頻譜數(shù)據(jù)的計(jì)算 對(duì)投影數(shù)據(jù)頻譜值的取得，我們采取式（ 214）計(jì)算。 ( , )px?? 叫做 ( , )f xy 沿 θ方向的投影。 同時(shí)，也很容易按照上面的推導(dǎo)方法找到與 CBP 算法中采 取其他窗函數(shù)的濾波函數(shù)等效的插值方法，只是插值函數(shù)的加權(quán)系數(shù)不會(huì)是雅克比加權(quán)系數(shù) 。由于我們的論文主要考慮在投影數(shù)據(jù)充足時(shí)的重建效果，因此，稀疏投影數(shù)據(jù)的仿 真圖沒(méi)有收到本論文中。 在我們的試驗(yàn)中由于數(shù)據(jù)足夠密集，因此沒(méi)有采用雙線性插值法，而是采用最近點(diǎn)插值法，也能取得很好的結(jié)果。 （ a）極坐標(biāo)采樣示意圖 （ b）直角坐標(biāo)采樣示意圖 圖 31 極坐標(biāo) 到直角坐標(biāo)插值 示意圖 常見(jiàn)插值方法 在重建算法中最為常見(jiàn)的插值方法有：最近點(diǎn)插值法、雙線性插值法以及三次樣條插值法。由于在 CBP 算法中調(diào)整方法更加直接，因此其重建速度也更快。 SIRT（ Simultaneous Iterative Reconstruction Technique） —— 同時(shí)迭代重建法是與 ART并行的另一種迭代重建算法。最常使用的一個(gè)限制條件是非負(fù)性 [1]。但在實(shí)際的實(shí)現(xiàn)中，由于采集數(shù)據(jù)的天然離散性，需要對(duì)式（ 214）進(jìn)行離散實(shí)現(xiàn) ，得到直接傅里葉重建算法的數(shù)字實(shí)現(xiàn)步驟如下： （ 1）對(duì)投影數(shù)據(jù) ( , )p n t m ???進(jìn)行傅里葉變換，對(duì)式（ 212）離散化得到： 1/ 2 1 21/2( , ) ( , )M i n tn dnMP n d m t p n t m e???? ? ? ???? ? ? ? ? ?? （ 215） （ 2）式（ 215）給出了原圖呈離散極坐標(biāo)狀態(tài)的原圖二維傅里葉頻譜數(shù)據(jù)，假設(shè)原圖在直角坐標(biāo)系下的二維傅里 葉頻譜數(shù)據(jù)為 ( , )F s u r v??，則 ( , )F s u r v??可以通過(guò)對(duì)( , )P N d m ???的插值求得。 對(duì)()R L rhx? 進(jìn)行采樣，其中 d 為采樣間隔對(duì)應(yīng)的最高不失真空間頻率為 1/(2 )Bd? ，以rx nd? 代入式（ 29），將得到 ()R L rhx? 的離散形式如（ 210）所示： 22 2 21 04( ) 0 1 RLndh nd nnnd??? ??????? ??為 偶 數(shù)為 奇 數(shù) （ 210）如果對(duì) ()RLh nd? 進(jìn)行線性內(nèi)插，則得到另一種連續(xù)的空域 函數(shù) ()RLrhx? ，可以把 ()RLrhx?看作是 ()R L rhx? 的一次近似。 Radon 反變換法由于對(duì)誤差很敏感，因此在商用 CT 機(jī)上未得到應(yīng)用。 在討論 DF算法中，我們先研究了比 較常見(jiàn)的一些插值方法（最近點(diǎn)插值、雙線性插值以及混合二階樣條線性插值法），通過(guò)仿真表明雙線性插值以及混合二階樣條線性插值法要比最近點(diǎn)插值法中 取得 更 好的效果。 CT 機(jī)已經(jīng)從第一代發(fā)展至第五代，掃描時(shí)間也從 5 分鐘縮短至幾十毫秒，空間分辨率也達(dá)到 1mm以下 [1]。 1963年， Kuhl和 Edward 應(yīng)用放射性同位素提出了橫向斷層成像方法，該方法被 后來(lái)進(jìn)一步發(fā)展和改進(jìn)為今天的發(fā)射計(jì)算機(jī)斷層成像（ ECT）。 第 1 頁(yè) 第一章 緒論 CT（ Computerized Tomography），即計(jì)算機(jī)斷層成像，是用來(lái)獲取觀測(cè)目標(biāo)斷層圖像的一門技術(shù)。其中， DF算法在原理上簡(jiǎn)單，重建速度較快，但是由于缺乏較好的從極坐標(biāo)系到直角坐標(biāo)系的插值方法，使得在大多數(shù)情況下DF 算法重建質(zhì)量不如 CBP 以及 ART算法重建質(zhì)量。 斷層成像技術(shù)發(fā)展簡(jiǎn)介 自從 1895年， 倫琴在試驗(yàn)陰極射線管時(shí)發(fā)現(xiàn)了 X射線后， X 射線便發(fā)展為廣泛使用的檢測(cè)工具。最流行的掃描 機(jī) 類型是第三代掃描