【正文】 ? ? ? ? ? ? ?；16 ? 故 X的分布列為 ? ? ? (2) X 0 10 20 50 60 P 7291000243100018100091000110007 2 9 2 4 3 1 80 1 0 2 01 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0EX ? ? ? ? ? ? ?915 0 6 0 3 .3 ( ) .1 0 0 0 1 0 0 0? ? ? ? 元17 題型 2 求二項分布的數(shù)學期望 ? 2. 為拉動經(jīng)濟增長，某市決定新建一批重點工程，分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類，這三類工程所含項目的個數(shù)分別占總數(shù)的 ，現(xiàn)在 3名工人獨立地從中任選一個項目參與建設(shè) .記 ξ為 3人中選擇的項目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，求 ξ的分布列及數(shù)學期望 . 1 1 12 3 、18 ? 解 :記第 i名工人選擇的項目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件Ai,Bi,Ci， i=1， 2， 3. ? 由題意知 A1,A2,A3相互獨立， B1,B2,B3相互獨立， C1,C2,C3相互獨立， Ai,Bj,Ck(i， j，k=1， 2， 3，且 i， j， k互不相同 )相互獨立，且 P(Ai)= ， P(Bi)= ， P(Ci)= . 12131619 ? 解法 1： 設(shè) 3名工人中選擇的項目屬于民生工程的人數(shù)為 η，由已知 η~B(3， )，且ξ=3η. ? 所以 1331322321330311( 0 ) ( 3 )3 271 2 2( 1 ) ( 2 )3 3 91 2 4( 2 ) ( 1 )3 3 928( 3 ) ( 0 ) .3 27P P CP P CP P CP P C??????????? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ?????；；；20 ? 故 ξ的分布列為 ? ξ的數(shù)學期望 ξ 0 1 2 3 P 82749291271 2 4 80 1 2 3 2 .2 7 9 9 2 7E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?21 ? 解法 2： 第 i名工人選擇的項目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件 Di， i=1,2,3， ? 由已知， D1， D2， D3相互獨立， ? 且 P(Di)=P(Ai+Ci)=P(Ai)+P(Ci)= ? 所以 ξ~B(3, ), ? 即 1 1 2 ,2 6 3??23 3321( ) 0, 1 , 2, 3.33kP k C k k k? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，22 ? 故 ξ的分布列為 ? ξ的數(shù)學期望 ? 點評： 若隨機變量服從二項式分布時，可由二項分布的期望計算公式 (若 ξ~B(n， p)，則 Eξ=np)更簡便的求得期望 . ξ 0 1 2 3 P 82749291271 2 4 80 1 2 3 2 .2 7 9 9 2 7E ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?23 某同學參加 3 門課程的考試．假設(shè)該同學第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為45，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為 p 、 q ( p q ) ，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立．記 ξ 為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為 ξ 0 1 2 3 P 6125 a b 24125 (1) 求該生至少有 1 門課程取得優(yōu)秀成績的概率； (2) 求 p ， q 的值； (3) 求數(shù)學期望 Eξ . 24 解： 事件 Ai表示 “ 該生第 i 門課程取得優(yōu)秀成績 ” ， i＝ 1,2 , 3 ，由題意知 P ( A1) ＝45， P ( A2) ＝ p ， P ( A3) ＝ q . (1) 由于事件 “ 該生至少有 1 門課程取得優(yōu)秀成績 ” 與事件 “ ξ ＝ 0 ” 是對立的，所以該生至少有 1 門課程取得優(yōu)秀成績的概率是： 1 － P ( ξ ＝ 0) ＝ 1 －6125＝1 19125. 25 ( 2 ) 由題意知， P ( ξ ＝ 0 ) ＝ P ( A1 A3) ＝45 p ( 1 － q ) ＋45 ( 1 － p ) q ＋15pq ＝58125， ( 或者 b ＝ 1 －6125－24125－ a ＝58125) 則 E ξ ＝ 0 6125＋ 1 a ＋ 2 b ＋ 3 24125＝95. 28 題型 3 利用分解與合成原理求數(shù)學期望 ? 3. 甲、乙兩個代表隊進行乒乓球?qū)官?，每隊三名隊員，甲隊隊員是 A1， A2， A3，乙隊隊員是 B1， B2， ，對陣隊員之間勝負概率如下： A1勝 B1的概率為 ， A2勝 B2的概率為 ， A3勝 B3的概率為 ，按上述對陣方式出場，每場比賽勝隊得1分，負隊得 0分，設(shè)甲、乙兩隊最后所得總分分別為 ξ、 η，求 Eξ、 Eη.