【正文】 * ?? ? 故 )0,0()s in,c o s()2(2 1lim2 1lim **0220 ffd x d yyx fyfxD yx ????? ???? ?? ?? ??????? ?? ：令 ,yxu ?? ,yxv ?? 則 auvaavua ???????? ,，21),(),( 1),( ),( ???????yxvuvu yxJ 故 ? ??? ? ??? ?????? ????a uaauD auaauD dvduufdvduufdudvufd x d yyxf 00 )(21)(2121)()(* ? ?? ???? 0 0 )()()()(a a duufuaduufua ＝ ?? ???? aa duufuaduufua 00 )()()()( ＝ ?? ?aa dttatf ))(( 9．證明：（判別式法）設 t 為任意實數，則 ? ? 0)()()(2)()()( 2222 ????? xgtxgxtfxfxtgxf ，因而有 ? ? 0)()()(2)()()( 2222 ????? ???? babababa dxxgtdxxgxftdxxfdxxtgxf 上式中間部分是關于實數 t 的二次三項式，故其判別式僅當 042 ???? ACB 時，不等號 才成立，即 ??????????????????? ??? dxxgdxxfdxxgxf bababa )()()()( 222 10．證明：令 ? ??? ?? 10 10 210 3210 3 )()()()( dxxxfdxxfdxxfdxxxfI ???? ??DD d x d yyyfxfd x d yyfxxf )()()()(2323 ?? ??D d x d yyxyfxf ))(()(23 （ 1） 類似處理，又有 ?? ??D d x d yxyyfxfI ))(()(32 （ 2） 將（ 1）＋（ 2），并注意到假設及 0)]()()[( ??? yfxfyx ，就有 ?I2 0)]()()[()()(22 ?????D d x d yyfxfyfxfyx 即 0?I ，故命題成立。 7求微分方程 xeyay ???? 2 的通解。 5求全微分方程的： xxy sin???? 的通解。 4球心在原點，半徑為 R的球體，在其上任意一點的密度的大小與這點到球心的距離成正比，求這球體的質量。 2求曲面 3??? xyzez 在點 ? ?0,1,2 處的切平面方程。 6滿足微分方程 xy?? 的經過點 M（ 0， 1）且在此點與直線 y= 相切的積分曲線是12 ?x（ ）。 50、微分方程 0136 ?????? yyy 的通解為（ ）。 求極限 ????? 22lim00 yx xyyxy ( ) 求極限 ???? 22lim 100 yxxy( ) 求極限 ?????? 22lim 1 yxxy( ) 求極限 ????? xyxyxy42lim00( ) 求極限 ????? 11lim00 xyxyxy( ) 求極限 ??? xSinxyxylim00( ) 設 ? ? ? ? ? ? ???? 1,a r c s in1, xfyxyxyxf x則( ) 由線????????4422yyxz 在點 ? ?5,4,2 處的切線與正向 x軸所成傾角為 ( ) 。? D、不可確定 6方程 039。（ ） A、 nn ba ? B、 nn ba ? C、 nn ba ? D、 nn ba ? 設級數 ???12n na收斂，則級數 ??? ??1 1n nn aa ( ) A、絕對收斂 B、條件收斂 C、發(fā)散 D、可能收斂民可能發(fā)散 4設級數 ???12n na， ???12n nb都收斂，則級數 ? ???? ?1n nn ba （ ） A、絕對收斂 B、條件收斂 C、發(fā)散 D、可能收斂民可能發(fā)散 4已知級數 ? ???? ???1 11nnn xxa 在 處收斂，則此級數在 處2?x （ ） A、條件收斂 B、絕對收斂 C、發(fā)散 D、可能收斂民可能發(fā)散 4函數 ? ? ? ?xxf ?? 1ln 展開 x的冪級數，則 nx 的系數為 （ ） A、n1 B、 ? ?nn 11 1?? C、 ? ?111 ?? nn D、 ? ?11 1?? ?n n 4使函數系列 ? ??? ,cos,2cos,cos,1 nxxx 正交的最小區(qū)間是 （ ） A、 ?????? 4,0? B、 ?,0 C、 ? ???,? D、 ? ??,0 4使函數系 ? ??? , S in n xS in zxS in x 正交的最小區(qū)間是 （ ） A、 ? ??2,0 B、 ? ???,? C、 ? ??,0 D、 ?????? 4,0? 4使函數系?????? ??l xnSi nl xnl xlxSi nlx ????? 。 ( ) A、 ??2z? 連續(xù) B、 ??2z? 可微 C、 ??2z? 可微且 ? ? 。 2 yyaxyy ???? 是（ ） A、可分離變量方程 B、齊次方程 C、線性非齊次方程 D、線性齊次方程 6已知函數 ??xy 滿足方程 xyyxy ln39。3 C、 ? ? S in xyeyey xx ??? 23 39。 1函數 z=x2+y2 在點（ 1， 2）到（ 2， 2+ 3 ）的方向的方向導數為（ ）。 5微分方程： 的通解為xxydxdy 42 ?? （ ）。 設 .,s in,c os,22xzyxuyxuuvvuz ?????? 求而 設 .,23,ln2xzyxuyxuvuz ?????? 求而 32 ,s in, tytxez yx ??? ? 而 求dtdz 11. 設 ? ? .,a r c ta ndxdzeyxyz x 求而 ?? 12. 設 ? ? dxdxzxaya zye ax ?? 求而 ,c o s,s in,12 ????? 1 求微分方程 xeyy x 2cos????? 的通解。 3在平面 xoy 上求一點，使它到 01620,0 ????? yxyx 及 三直線的距離平方之和為最小。 5一曲線通過點 ? ?3,2 ，它在兩坐標軸間的任一切線線段被中點平分，求這個曲線方程。 ? ? ? ?211 ???????? xyyxyx 的通解為 ? ? ,121 ???? nxcxcxy 求非齊次線性方程 ? ?yx ??1 xyyx ??? 的通解。 16．設 )(0 xf 在區(qū)間 ? ? )0(,0 ?aa 上連續(xù)，而且 ? ? ),2,1(,0,)()(0 1 ???? ? ? naxdxxfxf x nn，試證：無窮級數 ???0 )(n n xf在 ? ?a,0 上是絕對收斂的。 19． (1)解：通解為 ? ???????????????????? ?aecbxaea bcecdxebeyaxxaxxaadx??? ??,)(,)( （ 2）當 0?? 時， ,abcey ax ?? ? 所以， ababcexy axxx ??? ??????? )(lim)(lim 當 x0 且 a?? 時， ,)( xax ea bcexy ?? ?? ??? 0)(lim)(lim ???? ???????? xaxxx ea bcexy ?? 當 0?? 且 a?? 時， ,)()( axecbxxy ??? 0)(lim)(lim ??? ??????? axxx ecbxxy 20．證明：令 0)0(),()()( ??? FxfxgxF )()()]()()[()()()()()()()。 14．設 0?na 且 }{ nna 有界，試證 ???12n na收斂。 0???? yy 的通解為 ? ? ,s inc o s 21 xcxcxy ?? 求非齊次線性方程xyy sec???? 的通解。 4計算 ? ? ,22 dsyxL 其中 L 為圓周 .22 axyx ?? 4計算 ? ?? ?? ,x dydxyzaL 其中 L為擺線 ? ? ? ?taytax c o s1,s in1 ???? 上對應 t 從 0到 2?的一段弧。 3求函數 ? ? 22 21 yxz ??? 的極值。 求函數： Z=yx，當 x=2,y=1, , ???? yx 時的全增量和全微分。 5微分方程 xxyy 2sintan ??? 的通解為（ ）。 =1 的特解是（ ） 1旋轉球 163 222 ??? zyx 面上點（ 1， 2， 3）處的切平面與坐標平面 XOY 的夾角余弦為（ ）。1 yxfy ? 型 C、 ? ?39。39。 ( ) A、 1?? B、 1?? C、 0?? D 0?? 在（）條件下，由方程 ? ?2zyxZ ??? 所確定的函數。（ ） A、一定是奇函數 B、一定是偶函數 C、不一定是奇函數 D、一定是奇函數或偶函數 50、下列 xeyyy ??為 的特解的是（ ） A、 xxey? B、 xey 21? C、 xey? D、 xey 21? 5將函數 ? ? ? ?201 ???? xxxf 展開為周期為 4 的余弦級數，則 25cos x? 的系數為（ ） A、28?? B、28? C、2258?? D、2258? 5設 ? ???? ??? ??? 424 20 xx xxxf則將其展開為半幅余弦級數的常數項 a0為（ ） A、 0 B、 2 C、 4 D、 8 5下列方程為一階齊次微分方程的是（ ） A、 ? ? ? ? 01 ???? dyxdxyx B、 039。00 ????? ?? xx yyyy的解 ???y A、 chxCln B、 21 ln CchxC ? C、 chxln? 6方程 Sinyy ? 屬于可階的類型為（ ） A、 ? ? ? ?xfy n ? 型 B、 ? ?39。 若函數從 =f(t,x,y),x=? (s,t)均具有一階連續(xù)偏導數，則 ???tu （ ）。 ????? yyy （ ）。 6微分方程 ? ? yyy ?????? 3 的通解是（ ）。 2求函數 xyzu? 在點 ? ?2,1,5 處沿從點 ? ?2,1,5 到點 ? ?14,4,9 的方向的方向導數。 45 、一均勻物體（密度 P 為常量）占有的閉區(qū)域 ? 由曲面 222 yxz ?? 和平面ayaxz ??? ,0 所圍成。 6求21 1xy ????的通解 。 7求微分方程 xxeyyy ??????? 323 的通解。 14．證明：因為 0?na 且 }{ nna 有界，故存在 M0 使 Mnan ??0 ，即 nMan ??0，于是 2220