【正文】 （ 52. 2(ln2 22 ?? xxy ) 53. cyex yx ??2 54. ? ? xecxy sin??? 55. xxcy 2co s2co s ?? 56. 13 ?? xey 57. 22 xcey ?? 58. 195 59. xcexy 44 411 ????? 60. ? ? cyxyx ???? ln 61. cxyx ?? 22 62． 2122 1)1ln ( CxCxxxxy ??????? 63.32214 221c o s cxcxcxxy ????? 64. 1263 ??? xxy 65. ? ?22121 1 cxcyc ??? 66. ? ? 12arcsin cecy x ?? 67. 21c o sln ccxy ???? 68. xey arctan2? 三、解答題 1. ? ?yxft ,2 2. ? ? ? ? xxy xyyx 2?? 3. 2,2 4. 0 5. dydx 3231 ? 6. ???z , ??dz 7. 8. ? ?yyyyxxz s inc osc oss in3 2 ???? 9. ? ? ? ?223223 223ln yyx xyxyzxyz ??????? 10. ? ?22sin 6cos3 tte tt ?? 11. ? ?xx ex xe221 1? ? 12. xeaxsin 13. xxexxcxcy s in22s inc os21 ???? 14. yx yx?? 15. xyxyz xyzyz ?? 16. zxz? 17. ? ?32232 22xye ezyzxyzey xxx? ?? 18. ? ?? ?32224 2xye yxx yzzz x ? ?? 19. 22211112 ?????????? ?? zyx ? 20. 011682 ???? zyx 21. ? ? ? ? ? ? 02 1 00000 ?????? zzzyyymxx 22. 024916 ???? zyx 23. ? ?1,1,11 ??P 或 ?????? ?? 271,91,312P 24． 1000 ??? zczybyax 25． 042 ??? yx 26．2112 ???? zyx 27． 1398 28. ? ? kjig r a d f 6230,0,0 ??? 29. 極大值 ? ? 82,2 ??f 30．極大值 ? ?162,3 ?f 31．極小值21,21 ef ???????? ? 32．162723,49 ????????f 33．極小值 ? ? 00,1 ?f 34．極小值4121,21 ???????z 35． ?????? 516,58 36． 359,359 ?? 37．38 38. 23?? 39. 617 40. ?6 41. ? ?22 2 ??a 42. 216R 43. 4Rk? 44. ?????? R45,0,0 45. 438a 46. 614 47. ?9 48. 22a 49. 22a?? 50. 152 51. 6?xy 52. ? ?cxey x ?? ? 53. xcxxy ???? 22331 2 54. cyyxx ??? 3223 343 55. cyxyyxxa ???? 3222 31 56. cyxey ?? 2 57. cxyyx ?? cossin 58. cxxy ?? 331 59. 213 s in61 cxcxxy ???? 60. ? ? 32213 cxcxcexy x ????? 61. ? ?2121ln21a r c t a n cxcxxxy ????? 62. 221 21 cxxecy x ???? 63. ? ?1221 ??? xcecy x 64. 3221 xxcxcy ??? 65. xxxxxcxcy c o slnc o ss ins inc o s 21 ???? 66. ? ?221 21ln nxxxcxcy ???? 67. ? ? ? ?141221 ???? ? xexccy x 68. xcxcececy xx 2s inc o s 4321 ???? ? 69. ? ? ? ? xccxxccy s inc o s 4321 ???? 70. ? ? xexccxccy 4321 ???? 71. xcxcececy xx 3s in3c o s 432221 ???? ? 72. xxx eececy ??? ?221 73. 221 1s inc os aexaxcaxcy ???? 74. xxxeccy x 2575331 232521 ????? ? 75. xxx exxececy ??? ?????? ???? 323 2221 76. ? ? xxexcxcey xx 2c os412s in2c os21 ??? 77. ? ? xx exxexccy 32321 1312 ?????? ???? 78. xececy xx 21811421 ???? ?? 四．證明題 1．證明：將方程的兩邊分別對 x,y 求偏導，注意 x,y 彼此無關， z 是 x,y 的函數(shù) 0)1()11( 221 ????????? xx zxxzFzyF 方程兩邊同乘 x2y,得21122 FyFx FyxFyzzx x ??? ????? 由于對稱性，即得21121 FyFx FyxFxzzy y ??? ????? 將兩式相加，便得： xyzyzyxzx ??????? 2．證明：令 32323232),( azyxzyxF ???? 3132 ??? xFx， 3132 ??? yFy， 3132 ??? zFz 故在曲面上任一點 ? ?000 , zyx 處切平面方程為 0)()()( 031003100310 ?????? ??? zzzyyyxxx 在上式中令 0??zy 得切平面在 x軸上的截距為 323103203203100 )( axzyxxx ???? 由曲面的對稱性，可知切平面在 y,z 軸上的截距分別為 32310ayy? ， 32310azz? 故 23234222 aaazyx ????? 3．證明：（用反證法）設有一點 ,),( 000 DyxP ? 而 ,0),( 00 ?yxf 不妨設 ,0),( 00 ?yxf 由),( yxf 的連續(xù)性，可知存在一個 ),( 000 yxP 的鄰域 ,),( 0 DP ?? ? 使得在其中 ,0),( ?yxf 于是，由定積分中值定理，必 ),(),( 0 ??? P??? 使 ,),(),(),( 0 sfdyxfP ??????? ?其中 s 為 ),( 0 ?P?的面積，又因 0),( ???f 故 ??? ?),( 0 0),(? ?P dyxf，與假設矛盾，即知在 D 內(nèi)有 0),( ?yxf 4．證明：設 ,)( 20 ??????? ?a dxxfI ? ??? ?? a axD dyyfdxxfd x dyyfxfI 01 )()()()(1 ???2)()(2 D dx dyyfxfI 則 210021)()()()( IId x dyyfxfdyyfdxxfI DDaa ???? ???? ? 而 ? ?? ??? ??????????????? a ata ayaya dtdyyftfdydxxfyfdxxfdyyfI0002 )()()()()()( ?? ?? axa Idyyfdxxf 10 )()( 故 12II? 即 ? ?? ???????a aax dxxfdyyfdxxf020 )()()(2 ： ? ???? ??? ?????? by ba nnbaxa nba dyyfybyxndxyxyfdyyfyxdx )()(11])()([)()( 122 ? ???? ba n dyyfybn )()(11 1 6．證明：令 ,22 babyaxu ??? ,22 baaybxv ??? 則 D 變?yōu)?1: 22* ?? vuD 1),(),( 1),( ),( ????????yxvuvu yxJ 故 ??? ??? ???? ????????22*1111 2222 )()()(uuD D dvducubafdudvJcubafd x d ycbyaxf ＝ ducubafu )(12 2211 2 ????? 7．證明：采用極坐標，令 ??cos?x ， ??sin?y ，則 yx fyfxyfxff ???????????? ?????? s inc o s ，于是 ? ? ????? ???????? ???? ? ? ? ????????????? ?? 201 202221)s i n,c o s(*dfdfdddfd x d yyx fyfxIDDyx ＝ ????????? ? dfdf? ??20 20 )s in,c o s()s in,( c o s 因為 ),( yxf 在單位圓的邊界上取值為 0，故 0)sin,(cos ???f ，再利用積分中值定理得 ),s in,c o s(2)s in,c o s( **20 ??????????? fdfI ???? ? 其中 ]2,0[* ?? ? 故 )0,0()s in,c o s()2(2 1lim2 1lim **0220 ffd x d yyx fyfxD yx ????? ???? ?? ?? ??????? ?? ：令 ,yxu ?? ,yxv ?? 則 auvaavua ???????? ,，21),(),( 1),( ),( ???????yxvuvu yxJ 故 ? ??? ? ??? ?????? ????a uaauD auaauD dvduufdvduufdudvufd x d yyxf 00 )(21)(2121)()(* ? ?? ???? 0 0 )()()()(a a duufuaduufua ＝ ?? ???? aa duufuaduufua 00 )()()()( ＝ ?? ?aa dttatf ))(( 9．證明：（判別式法）設 t 為任意實數(shù)，則 ? ? 0)()()(2)()()( 2222 ????? xgtxgxtfxfxtgxf ，因而有 ? ? 0)()()(2)()()( 2222 ????? ???? babababa dxxgtdxxgxftdxxfdxxtgxf 上式中間部分是關于實數(shù) t 的二次三項式，故其判別式僅當 042 ???? ACB 時，不等號 才成立，即 ??????????????????? ??? dxxgdxxfdxxgxf bababa )()()()( 222 10．證明：令 ? ??? ?? 10 10 210 3210 3 )()()()( dxxxfdxxfdxxfdxxxfI ???? ??DD d x d yyyfxfd x d yyfxxf )()()()(2323 ?? ??D d x d yyxyfxf ))(()(23 （ 1） 類似處理，又有 ?? ??D d x d yxyyfxfI ))(()(32 （ 2） 將（ 1）＋（ 2），并注意到假設及 0)]()()[( ??? yfxfyx ，就有 ?I2 0)]()()[()()(22 ?????D d x d yyfxfyfxfyx 即 0?I ，故命題成立