【正文】 ACB sin3)cos ( ??的取值范圍[1,2)． ?????? 14分 1 （本小題滿分 14 分） 如圖，在棱長為的正方體1 1 1 1AB CD A B C D?中， P為線段1AD上的點，且滿足1( 0)D P PA????. （ Ⅰ ）當1??時，求證：平面11CD?平面 PDB； （ Ⅱ ）試證無論 為何值，三棱錐1D PBC?的體積恒為定值； 16. 證明 一 ：（ Ⅰ ） ∵ 正方體1 1 1 1AB CD A B C D?中， ?面11AADD， 又11AB ABC D?∴ 平面CD?平面， ?????4 分 ∵1??時， P為1AD的中點， ∴1P AD?， 又 ∵ 平面11CD平面11AAD1AD?， ∴ DP?平面AB， 又 ?平面 PDB， ∴ 平面11ABCD?平面PDB． ??? 7分 證明二： 如圖，以點 D為坐標原點，建立如圖所示的坐標系． （ Ⅰ ）當1??時，即點 P為線段1AD的中點， 則( ,0, )22，又(0,0,0)、1,1,0) ∴( , 0, )22? ? ?，11( ,1, )22PB ??， 設平面 PDB的法向量為( , , )n x y z?， ????2 分 則00nPBn? ????????，即1100220xzx y z?? ? ? ????? ? ? ???，令1y，解得( 1,1,1)n??， ?4 分 又 ∵ 點 P為線段1AD的中點， ∴1DP AD?， ∴ DP?平面11ABCD， ∴ 平面11ABCD的法向量為( , 0, )PD ? ? ?， ??5 分 用心 愛心 專心 4 ∵110022PD n? ? ? ? ?， ∴ 平面11ABCD?平面 PDB， ?????????7 分 （ Ⅱ ） ∵//AD BC， P為線段1AD上的點， ∴ 三角形PBC的面積為定值，即11221PBCS ? ? ? ? ????10 分 又 ∵//CD平面ABCD， ∴ 點 D到平面1的距離為定值，即22h?， ?????????12 分 ∴ 三棱錐1BPC?的體積為定值，即111 1 2 2 13 3 2 2 6D P B C P B CV S h??? ? ? ? ? ? ?． 1 （ 本小題滿分 15分） 為了保護環(huán)境，發(fā)展低碳經濟，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，采用了新工藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品．已知該單位每月的處理量最少為 400噸，最多為 600噸，月處理成本y（元）與月處理量 x（噸）之間的函數關系可近似的表示為：21 200 800002y x x? ? ?，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為 100元． （ 1）該單位每月處理量為多少 噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？ （ 2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損？ 1解：（ 1）由題意可知，二氧化碳的每噸平均處理成本為： 1 80000 2020y xxx? ? ???????????????????? 4分 1 800002 200 2020 x x? ? ? ?， 當且僅當1 800002 x x?，即400x?時， 才能使每噸的平均處理成本 最低，最低成本為200元 ．??????? 8分 （ 2）設該單位每月獲利為S, 則100S x y??????????????????????????? 10分 2211100 ( 200 80000) 300 8000022x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? 21 ( 300) 350002 x? ? ? ? 因為400 600x??，所以當400x?時，S有最大值40000?． 故該單位不獲利，需要國家每月至少補貼40000元，才能不虧損 ．???? 15分 1 （本小題滿分 15 分） 已知數列??na的前 n項和為nS， 1a＝ 1，且 122nnaS? ??()n ??N． （ 1）求 2a，3的值，并求數列??n的通項公式； 用心 愛心 專心 5 （ 2）解不等式13n ni i Sa? ??()n ??N． 1 （ 1） ∵ 2 1 12 2 2 3a S