迎戰(zhàn)20xx年高考數(shù)學(xué)-函數(shù)的奇偶性與周期公式推導(dǎo)方法(專業(yè)版)
【正文】 （ 2）若 )( xafy ?? 是偶函數(shù) ? )()( xafxaf ??? ? (xf 的圖象關(guān)于直線 ax? 對稱； 若 )( xbfy ?? 是奇函數(shù) ? )()( xbfxbf ???? ? )(xf 的圖象關(guān)于點 )0,(b 中心對稱； 4 例、 若函數(shù) )(xf 在 ),4( ?? 上為減函數(shù)，且對任意的 Rx? ，有 )4()4( xfxf ??? ，則 A、 )3()2( ff ? B、 )5()2( ff ? C、 )5()3( ff ? D、 )6()3( ff ? （ 1）偶函數(shù)的和、差、積、商（分母不為 0）仍為偶函數(shù)。 解： ：函數(shù) 1( ) (1 )1 xf x x x??? ?定義域 － 1＜ x＜ 1 ∵ 1( ) (1 )1 xf x x x??? ?＝ 221 .( 1 ) 11 x xxx? ? ? ?? 2 ∴ 22( ) 1 ( ) 1 ( )f x x x f x? ? ? ? ? ? ? ∴ 1( ) (1 )1 xf x x x??? ?是偶函數(shù) （ 3）去掉絕對值符號，根據(jù)定義判斷 . 由 ??? ??? ?? ,02|2| ,01 2x x得 ??? ??? ??? .40 ,11 xx x且 故 f（ x）的定義域為［－ 1， 0）∪（ 0， 1］，關(guān)于原點對稱，且有 x+2＞ f（ x） = 2122xx ??? = 21 xx? ，這時有 f（－ x） = 21 ( )xx??? =－ 21 xx? =－ f（ x），故 f（ x）為奇函數(shù) . （ 4）∵函數(shù) f（ x）的定義域是（－∞， 0）∪（ 0， +∞），并 且當(dāng) x＞ 0 時，－ x＜ 0， ∴ f（－ x） =（－ x）［ 1－（－ x）］ =－ x（ 1+x） =－ f（ x）（ x＞ 0） . 當(dāng) x＜ 0 時，－ x＞ 0，∴ f（－ x） =－ x（ 1－ x） =－ f（ x）（ x＜ 0） . 故函數(shù) f（ x）為奇函數(shù) . 評述：（ 1）分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段證明 .（ 2）判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先求定義域再化簡函數(shù)解析式 . ②證明抽象函數(shù)的奇偶性 例 已知 f（ x）是定義在 R 上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的 a， b∈ R 都滿足： f（ a（逆否命題可判斷一個函數(shù)不是奇函數(shù)） （ 2）奇函數(shù)的反函數(shù)也為奇函數(shù)。 1） =1 f（ 0） =0；
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