【正文】 239。 反過來 ，如果等號(hào)成立，由以上證明過程可以看出，或者 線性相關(guān)，也就是說或者 ????? ???? ??????? ,0),( ),(,0 ??。 除此之外 ,國內(nèi)還有一個(gè)不等式研究小組比較活躍 , 主辦一個(gè)《不等式研究通訊》的內(nèi)部交流刊物 , 數(shù)學(xué)家楊路先生任顧 問。而柯西不等式是本篇論文討論的重點(diǎn)內(nèi)容，我們將著重討論柯西不等式的幾種主要表現(xiàn)形式及相關(guān)的證明，應(yīng)用舉例等等。祁鋒教授 和他 所領(lǐng)導(dǎo)的研究群體在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系統(tǒng)的前沿研究成果；對分析不等式，胡克教授于 1981 年發(fā)表在《中國科學(xué)》上的論文《一個(gè)不等式及其若干應(yīng)用》針對 Holder 不等式的缺陷提出一個(gè)全新的不等式，被美國數(shù)學(xué)評論稱之為 一個(gè)杰出的非凡的新的不等式，現(xiàn)在稱之為胡克 (HK)不等式。依在 e n s e n0ln)( Jxxxxf ?? ))()()((31)3( cfbfafcbaf ????? 從而 )lnlnln(313ln3 ccbbaacbacba ??????? 即 cbacba cbacba ??? ??)3( 又因 33 cbaabc ??? ，所以 ? ? 3 cbacba abccba ??? 這 個(gè)題目還有一種較為簡單的做法就是比較法 方法二 證 由于不等式關(guān)于 ,abc的對稱性，不妨設(shè) 0??? cba , 因?yàn)? ? ? .13333?????????????????????????cacbbacbacbacacbbaa b c cba 故原不等式得證。我們現(xiàn)在通過一個(gè)例子簡單的說明下： （ 1）均值不等式求最值 例 1 1)1(3)1(1 55 22 ? ?????? ??? x xxx xxy 20 225 5 ( 1 ) 3 ( 1 ) 11111311 0 112 1 3 5101 0 11( 1 ) ( ( ) ) 2111 21y12( 1 ] [ 5 , )( ) ( 0 ,()x x x xyxxxxxxyxxxxxxxxxxby af x c a bfx? ? ? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ?????? ??? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí) ， 即 時(shí)（ ）當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時(shí) ， 等 號(hào) 成 立當(dāng) 時(shí)所 以則當(dāng) 且 僅 當(dāng) 時(shí) ， 等 號(hào) 成 立所 以 該 函 數(shù) 的 值 域 ，注 遇 到 分 式 求 最 值 時(shí) ， 化 0)()fx 恒 正 或 恒 負(fù) 。在 我的論文完成之際，向歐 老師致以真摯的謝意！ 其次，我還要感謝四年的大學(xué)生活，感謝溫州大學(xué)甌江學(xué)院對我的培養(yǎng)，感謝所有教導(dǎo)過我的老師們，沒有你們的培養(yǎng)和幫助，就沒有現(xiàn)在的我，最后我要感謝我的父母，感謝他們的支持和幫助，讓我安心完成學(xué)業(yè)。 由柯西不等式推導(dǎo)均值不等式的部分相關(guān)證明 在推導(dǎo)均值不等式前我們先了解下均值不等式 設(shè)由 n個(gè)正數(shù) naaa ， ?21, ，則 naaanaaaaaaaaan nnnn221211112121111???????????????? 常記為 nnnn QAGH ??? 先證 nn QA? 由柯西不等式 ? ? ? ? ? ? 22222122222122211 nnnn bbbaaabababa ?????????? ??? 令 121 ???? nbbb 則有 ? ? ? ?22221221 nn aaanaaa ??????? ?? 兩邊除以 2n 得n aaan aaa nn22221221 ?????????? ??? ??兩邊同時(shí)開方 得 n aaan aaa n 22121111 ????????? 現(xiàn)在來證 ? ?6nn AG? .由2121221 2,0)( aaaaaa ???? 得，當(dāng)且僅當(dāng) 21a? 時(shí) 等號(hào)成立。 5 1 凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 凸函的定義及性質(zhì) 定義 1 設(shè) ??xf 是定義在閉區(qū)間 ? ?ba, 上的函數(shù)，若對任意 x ， y ? ?ba,? 和任意 ? ?1,0?? ，有 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?yfxfyxf ???? ????? 11 則稱 f 為 ? ?ba, 上的凸函數(shù) .反之，如果有 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?yfxfyxf ???? ????? 11 則稱 f 為 ? ?ba, 上的凹函數(shù) . 性質(zhì) 1 設(shè) ??xf 為區(qū)間 I上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則在 I上 ??xf 為凸（凹）函數(shù)的充分必要條件 0)( ??? xf （ Ixxf ???? ,0)( ） 例 1 A， B， C為△ ABC 的三個(gè)角，證明： 323s ins ins in ??? CBA 證 設(shè) xxf sin)( ? ，所以有 0s in)( ????? xxf 所以 xsin 是上凸函數(shù)． 若 CBA , 是△ ABC 的三個(gè)角，則有 )(31)(31)(313 CfBfAfCBAf ????????? ?? 即 CBACBA s in31s in31s in313s in ????? 因?yàn)? ???? CBA 所以 233s ins in31s in31s in31 ???? ?CBA 323s ins ins in ??? CBA 6 同理可以證明 23c o sc o sc o s ??? CBA 例 2 證明不等式 ? ? 3 cbacba abccba ??? 其中 a， b， c均為正數(shù)。 20世紀(jì) 80 年代以來在中國大地上出現(xiàn)了研究不等式熱潮。至此，為本篇論文所論述的重要內(nèi)容。 不等式的研究主要包括以下四個(gè)方面，推廣和改進(jìn)現(xiàn)有的不等式，建立新的不等式，擴(kuò)大不等式的應(yīng)用范圍，探索不等式的證明方法。 這個(gè)不等式還可以這樣證明 ??8 引入定義在閉區(qū)間 ? ?ba, 上的所有實(shí)連續(xù)函數(shù)所成的空間 ? ?baC , 中，對于函數(shù))(),( xgxf 定義內(nèi)積 ? ? dxxgxfxgxf ba?? )()()(),( 這樣定義出來的 ? ?baC , 構(gòu)成 歐幾里得空間 根據(jù)以上定義結(jié)合 ???? ?），（ 我們可以得出 2 2 2( ( ) ( ) ) ( ( ) )( ( ) )b b ba a af x g x d x f x d x g x d x?? ? ? 14 柯西不等式的應(yīng)用舉例 應(yīng)用 柯西不等式求最值 例 1 設(shè)實(shí)數(shù) 的最大值。39。等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)）（因?yàn)樽钚≈担┈F(xiàn)在來求（時(shí)成立等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)相加個(gè)有bbaabbaababbaabbaabbaabaababababababababab???????????????????????????????? （ 3）運(yùn)用均值不等式及相關(guān)的變形求解不等式（提高題） 例 設(shè) a、 b、 c、 d ??R ,求證 44 22223 dcbadabc dabc dabc ??????? ??6 因?yàn)? )22(214 bacddcabdabc d ab c dabc ????????? 22 444444.)4(42224222)2(2)2(2122223222233222dcbad a bcd ab cda b cdcbadcbadcbad a bcd ab cda b cdcbadcbadcbadcbadcbabadcdcba??????????????????????????????????????? ?????????????????? ????????所以又即 由均值不等式推導(dǎo) Jensen 不等式的個(gè)例 將均值不等式 )2,1,0(2121 nixn xxxxxx inn n ???????? 其中， 兩端取對數(shù) n xxxaaan nn ????? 2121 lnln1 由觀察可設(shè) 0,ln)( ?? xxxf 其中 ))()()((1)( 11121 xfxfxfnn xxxf n ????????所以有 ）上的凹函數(shù)為區(qū)間（可知由其中 ??????? ,0ln)(0)(1)(,1)( 39。 （ 2）三維形式 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )a a a b b b a b a b a b? ? ? ? ? ? ? 對于三維情形，設(shè) 1 2 3 1 2 3( , , ) , ( , , )P a a a Q b b b是不同于原點(diǎn) (0,0,0)O 的兩個(gè)點(diǎn)，則 OP 與OQ之間的夾角 ? 的余弦有 1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3c o sa b a b a ba a a