【正文】 設(shè) 1/xxFT? 是輸入信號 ()xn 的頻率， 1/yyFT? 是輸出信號的 ()ym 的采樣頻率。 最后 低通濾波的效果非常好，濾波后幾乎與原信號相同。 圖 升余弦函數(shù)設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)任意濾波器響應(yīng) 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 27 從圖 中觀察可知，任意頻率響應(yīng)設(shè)計(jì)方法相比其他的設(shè)計(jì)方法更加的靈活，尤其是在設(shè)計(jì)一些要求特別的濾波器時非常方便 ， 只需要不斷調(diào)整 a,f,w 幾個權(quán)值大小即可。 它 是用方差最小來緩慢跟蹤數(shù)據(jù)，但會導(dǎo)致重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 25 最終估計(jì)的狀態(tài)有所誤差。其調(diào)用格式為 [M,fo,mo,w]=remezord(f,m,rip,Fs) 其中調(diào)用參數(shù) f 必須是以 0 開始 ，以 Fs/2（對應(yīng)歸一化頻率 1）結(jié)束的模擬頻率或歸一化數(shù)字頻率，并以省略了 0 和 Fs/2 兩個頻率點(diǎn)。 fir2 函數(shù)設(shè)計(jì) FIR 濾波器時，實(shí)際上該函數(shù)采取的是一種基于頻率采樣法和窗函數(shù)法綜合而成的方法，主要用于設(shè)計(jì)幅頻響應(yīng)特殊的濾波器，可以按照需求任意指定濾波器的形狀，比如經(jīng)常用于設(shè)計(jì)數(shù)字微分器和多帶通數(shù)字濾波器等。 第四節(jié) 本章小結(jié) 本 章介紹了有限脈沖響應(yīng)（ FIR）濾波器的設(shè)計(jì)方法。 ② 確定過渡帶寬 ?B ，并根據(jù)（ 228）確定采樣點(diǎn)數(shù) N； ③ 根據(jù)希望構(gòu)造的 ()?jdHe 確定 | ( )|?jdHe 和 ()??je ，并且滿足線性相位對稱要求； ④ 按照頻率采樣定理進(jìn)行頻率采樣得到 ()Hk，并加入過渡帶； ⑤ 對 ()Hk做離散傅里葉逆變換得到第一類線性相位 FIR 數(shù)字濾波器 的單位沖激響應(yīng) ()hn 。 一、 頻率采樣法設(shè)計(jì) FIR 數(shù)字濾波器的基本原理 該方法的原理是先確定希望逼近的濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)，再通過 頻率采樣逼近頻率響應(yīng)函數(shù)。與Hanning窗相比，主瓣寬度同為 8/N? ，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值比主瓣小 41dB。 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 7 很容易想的一種方法是 “ 加窗 ” ，將脈沖響應(yīng)值很小的采樣點(diǎn)截去，這樣 ()hn就為有限長，之后在通過移位操作使序列 ()hn 具有因果性，并用 ()hn 逼近理想濾波器。式（ 16）（ 17）所表示的線性相位分別稱為第一類線性相位和第二類線性相位。數(shù)字濾波器是數(shù)字信號處理系統(tǒng)中不可或缺的重要部分，其主要功能是按照所預(yù)先設(shè)定的算法完成信號的濾波，獲得所期望得到的信號。 數(shù)字信號處理是以數(shù)值計(jì)算的方法，對信號進(jìn)行采集、濾波、增強(qiáng)、壓縮和識別等加工處理，借以 達(dá)到提取信息和便于應(yīng)用的目的 ， 其應(yīng)用范圍涉及幾乎所有的工程技術(shù)領(lǐng)域 [1]。 可以證明 （ N1）階 FIR濾波器 系統(tǒng)是線性相位的充要條件為 ( ) ( 1 )h n h N n? ? ? ? (18) 因而系統(tǒng)函數(shù)可以寫成 1100( 1 ) ( 1 )( ) ( ) ( 1 )( ) ( )NNnnnN m N mmmH z h n z h N nh m z z h m z?????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? (19) 即 ( 1 ) 1( ) ( )NH z z H z? ? ??? (110) 進(jìn)一步寫成 1( 1 )01 1 11 ( ) ( )2 2 201( ) ( ) [ ]21 ( ) [ ]2Nn N nnN N NN nnnH z h n z z zz h n z z?? ? ? ??? ? ??? ? ? ???????? (111) 上式中，當(dāng)方括號內(nèi)的 “? ”取 “+”時， h(n)=h(N1n)， 即為 偶對稱；當(dāng)方括號內(nèi)的 “? ”取 “”時， h(n)滿足 h(n)=h(N1n)，奇對稱，則分別對應(yīng)以下表格中四種情況： 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 4 表 四種線性相位 FIR 濾波器的特性 （僅討論 0? =2? 的情況） 類型 情況 I 情況 II 情況 III 情況 IV 階數(shù) N 奇數(shù) 偶數(shù) 奇數(shù) 偶數(shù) h(n)的對稱性 偶對稱 偶對稱 奇對稱 奇對稱 ()?? ??? ??? /2?? ??? /2?? ??? ()?? 關(guān)于 ?=0 的對稱性 偶對稱 偶對稱 奇對稱 奇對稱 ()?? 關(guān)于 ?=π的對稱性 偶對稱 奇對稱 奇對稱 偶對稱 ()?? 的周期 2π 4π 4π 2π ? （ 0）取值 任意 任意 0 0 ? （ π）取值 任意 0 0 任意 第二節(jié) IIR 與 FIR 濾波器的比較 （ 1） 由于 IIR有著反饋結(jié)構(gòu)，所以相同的技術(shù)指標(biāo)要求下濾波器階數(shù)比 FIR數(shù)字濾波器少，在硬件結(jié)構(gòu)上意味著較少的寄存器和較小的開銷，經(jīng)濟(jì)性高 ； （ 2） FIR有著嚴(yán)格線性的相位 ，而 IIR濾波器 沒有 ， 所以 IIR濾波器的選擇性 和 其相位的非線性 是不可兼得的 ； （ 3） FIR濾波器采用非遞歸結(jié)構(gòu)， 不會積累誤差 ， 而 IIR濾波器 的遞歸結(jié)構(gòu)會導(dǎo)致寄生振蕩 ； （ 4）由于 FIR系統(tǒng)函數(shù)有限長 ， FIR濾波器可以使用快速傅里葉變換算法，而 有著無限長系統(tǒng)函數(shù)的 IIR 濾波器不能； （ 5） IIR濾波器極點(diǎn)位于 z平面任意位置，而 FIR濾波器極點(diǎn)固定在原點(diǎn) [3]。這就是窗函數(shù)法的基本 思想 。用 Hamming窗設(shè)計(jì) LPF，阻帶最大旁瓣比主瓣小 55dB。在此理想濾波器 的頻率響應(yīng)函數(shù)用 ()jdHe? 表示， 令 ()( ) ( )? ? ? ??j j jddH e H e e 在 0~2??? 區(qū)間，對 ()?jdHe 等間隔采樣 N 點(diǎn)，得 2( ) ( ) |? ?? ?? jd d k nNH k H e 01? ? ?kN （ 220） 對 N 點(diǎn) ()dHk進(jìn)行離散傅里葉逆變換，得到 ()hn 為 2101( ) ( ) ???? ?knN j Ndkh n H k eN 01? ? ?kN （ 221） 其系統(tǒng)函數(shù) ()Hz為 10( ) ( )? ????N nnH z h n z （ 222） 也可寫成 120 1()1()1 ?? ?? ?????N N dkjk NHkzHz Nez （ 223） 該式就是直接利用頻率采樣值 ()dHk形成濾波器系統(tǒng)函數(shù)的公式。 第三節(jié) 等波紋 逼近法設(shè)計(jì) FIR 數(shù)字濾波器 窗函數(shù)法和頻率采樣法有一個共同的缺點(diǎn)， 它 們的通帶和阻帶存在幅度波動。 FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法主要分為兩類：一類是基于逼近理想濾波器設(shè)計(jì)法，包括窗函數(shù)法、頻率采樣法和等波紋逼近采樣法；另一類是最優(yōu)設(shè)計(jì)法。 二、利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)濾波器 Hamming 設(shè)計(jì)低通濾波器 設(shè)計(jì)要求：使用 Hamming 窗，采樣頻率 20xxHz；通帶截頻 ，阻帶截頻，通帶衰減小于等于 ，阻帶衰減大于等于 50 dB。 Fs 是采樣頻率，缺省值 FS=2Hz，此時 f 必須是歸一化頻率。目前是常見算法中的最優(yōu)算法。 第四節(jié) 語音濾波分析 在本節(jié)將會利用 Matlab 對語音信號濾波去噪，并對效果進(jìn)行分析。從頻譜上面分析 原因 ， 語音信號主要是低頻信號 ， 而 randn 產(chǎn)生的隨機(jī)噪聲是高頻信號，所以只有 LPF 去噪效果明顯 。根據(jù) ,yxFF比例的不同，采樣率轉(zhuǎn)換分為以下幾種情況： （ 1）若 /yxF T D? ， D 為正整數(shù)，即 ()xn 每隔 D1 個采樣值抽取一個，使采樣率降低為原來的 1/D ，稱為按整數(shù)因子 D 抽?。? （ 2）若 yxF IF? ， I 為正整數(shù)，即 ()xn 的兩個相鄰采樣值之間插入 I1 個新的采樣值，使采樣率提高到原來的 I 倍，稱為按整數(shù)因子 I 插值； （ 3）若 //yxF F I D? ,且 I 和 D 互素，使采樣率變?yōu)樵瓉淼?/ID倍，稱為按有理數(shù)因子 /ID的采樣率轉(zhuǎn)換； （ 4）若 /yxFF為任意 有限數(shù)，稱為按任意因子的采樣率轉(zhuǎn)換 [13]。而第二種方法就是直接在數(shù)字域進(jìn)行轉(zhuǎn)換，本章就主要討論第二種方法。其次，帶通濾波的結(jié)果 與高通濾波結(jié)果一致，濾波效果也很差 。各段最優(yōu)化權(quán)向量為： w=[1 10 1]；第二個濾波器：取 N=30，邊界頻率向量為： f=[1 1]； 幅度響應(yīng)為 a=[3 2 2 2 1 2]；各段最優(yōu)化權(quán)向量為； w=[2， 10， 5]；實(shí)現(xiàn) MATLAB 代碼見附錄 。 圖 等波紋法設(shè)計(jì)的 FIR 低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)、頻譜響應(yīng)和相位響應(yīng) 二、 FIR 濾波器 約束 最小二乘法設(shè)計(jì)分析 基于最小方差原則的 約束 最小二乘法 （ Contained Least Square， CLS） 是一種數(shù)據(jù)處理方法 [9]，其設(shè)計(jì)可以不用明確過渡帶的幅值響應(yīng)，只需要指定截止頻率，通帶的邊緣頻率和阻帶的邊緣頻率 。 函數(shù) remezord 是 Matlab 波紋逼近法設(shè)計(jì)濾波器的函數(shù)， 調(diào)用 help 命令可知其功能是 基于 Remez交迭算法得到 等波紋最佳逼近 FIR數(shù)字濾波器的最低階數(shù) M，逼近 誤差加權(quán)向量 w 和歸 一化邊界頻率向量 f，并使?jié)M足要求的濾波器成本最低。 hn=fir1(M,wc， ?high?， blackman(M+1)) %指定 Bartlett 窗為設(shè)計(jì)濾波器的窗函數(shù) 。將 M+2 個頻率點(diǎn)全部檢查后，便得到了新的交錯點(diǎn)組，求出 ① 所說的參數(shù)，完成了一次迭代； ③ 重復(fù)以上步驟，得到 ? 收斂的上限，得到 ()gH? 最佳一致逼近 ()dH? ，在之后由 ()gH? 求得 ()hn 。 四 、 頻率采樣法設(shè)計(jì) FIR 濾波器的步驟 綜上所述，頻率采樣法設(shè)計(jì) FIR數(shù)字 濾波器的步驟歸納如下： ① 根據(jù)阻帶最小衰減 ?s 選擇過渡采樣點(diǎn)數(shù) m。 表 各種窗函數(shù)的參數(shù)值 窗函數(shù) 旁瓣峰值幅度/dB 過渡帶寬近似值（ /N? ） 過渡帶寬精確值 ( /N? ) 阻帶最小衰減/dB 矩形窗 13 4 21 巴特雷特窗 25 8 25 漢寧窗 31 8 44 漢明窗 41 8 53 布萊克曼窗 57 12 11 74 凱塞窗 57 10 10 80 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 11 第二節(jié) 頻率采樣法設(shè)計(jì) FIR 濾波器 由于濾波器的技術(shù)指標(biāo)一般是在頻域給出的，頻率采樣法更加方便，尤其對于 ()jdHe? 公式比較復(fù)雜， 不便用 公式表示 時更是如此 。 窗 對 Hanning窗加以改進(jìn)得到 Hamming窗，它的旁瓣更小，其窗函數(shù)為： 2( ) (0 . 5 4 0 . 4 6 c o s ) ( )1 Rnw n w nN???? (211) 22( ) 0 . 5 4 ( ) 0 . 2 3 [ ( ) ( ) ] 1R R RW W W W NNN??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? (212) 由資料可知， Hamming 窗可將 %的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)。 數(shù)字濾波器窗函數(shù)法設(shè)計(jì)原理 設(shè)一個截止頻率為 c? 的理想低通濾波器，其相頻特性 ()??=0，該理想 LPF的頻率響應(yīng)為 1()0 cjd cHe ???? ? ?? ??? ????? （ 21） 對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為 sin ( )1() 2 ccjn cd nh n e d n? ?? ???????? （ 22） 由 信號與系統(tǒng)知識可知，顯然這是一個非因果序列。 ()jHe? 的線性相位是指 ()??是 ? 的線性函數(shù)，即 ()? ? ???? （ ? 為常數(shù)） (16) 若()??滿足 0()? ? ? ???? （ 0? 為起始相位） (17) 此時 ()??不具有線性相位，但因?yàn)槿簳r延是常數(shù)，即 ()d d?? ?? ?? 這種相位也稱為線性相位。 【關(guān)鍵詞】 FIR數(shù)字濾波器 窗函數(shù)法 頻率采樣法 等波紋逼近 多采樣率轉(zhuǎn)換 重慶郵電大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） III ABSTRACT In digital signal processing, in o