【正文】 這個過程中最重要是教師自己對教學意義的不斷的思考與摸索 。 現(xiàn)代技術和硬件設備的趕超可能有錢就能辦得到，可能一夜之間也能辦到。 有的教師由于對解析幾何的基本思想理解的不深入，在運用技術手段進行解析幾何教學的時候就很容易出現(xiàn)偏差 。 如果在一節(jié)課中教師所選的不同的例題在思維上沒有太多的共性的東西，解決問題的思維方法缺乏一般性，解題的手段更多的是依賴于所謂的技巧的話，這樣的例題就不適合在課堂上進行分析 。 如果學生們僅僅是為了配合自己的老師，非常認真 地表演著討論，那就違背了教育的初衷，甚至給學生一種弄虛作假的印象 。 可以想象，如果一個學校的所有學科都按著一種教學模式進行教學的話，學生在學校的學習中都是在一種教學模式下展開，將會是多么可怕的事情 。 現(xiàn)如今，搞教育的人越來越多，而懂得教育真諦的人卻越來越少 。 我記得在評價某一節(jié)評優(yōu)課的時候，有位上課的年輕老師數(shù)學思維非常好，通過和學生的思維交流對教學的內(nèi)容揭示的非常深刻、到位，可以說真正上出了數(shù)學課的味道 。我不理解為什么有的學校非要統(tǒng)一備課組的教案 。從學生個人的發(fā)展來看，我們教師的指導作用應該體現(xiàn)在對學生思維的解放、激發(fā)上。作為老師，課堂語言一定要帶入學科的術語。學生可能在上課之前沒有形成一個很好的觀念，或者有一個錯誤的觀念，那么我們必須去 改變 。用函數(shù)的想法就解決了 ， 當然，計算量稍大一點。 所以從學生解決這個問題所遇到的障礙，我們就可以看出在學生的頭腦中沒有一個比較明確的解析幾何的方法， 而 這也正是我們教學中要 堅持不懈 強調(diào)的，堂堂都要落實的東西。 從知識層面上說，現(xiàn)在來看，直線與方程，圓與方程，圓錐曲線，這么三塊，思維特征是什么？解析幾何的思維特征是什么呢？就跟函數(shù)思維想法一樣，我覺得曲線與方程的思維，應該是解析幾何的思維特征。而不是依賴圖形，所以這節(jié)課完全違背了解析幾何的基本思想 用代數(shù)方法解決幾何問題 ,用方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，要觀察的不應該是圖象，應該是方程！ 應該讓學生看一看， 22125 16xy??這個方程有什么特點。都是這個函數(shù)的對稱中心，而甚至 可以看出 ， 912x ?? 就是對稱軸。 那么如果拿到函數(shù)圖象怎么想？咱們不能講的天花亂墜，一個函數(shù) 題 講了那么種做法， 我們 就是 要 研究函數(shù)解析式， 與之前說的 完全一樣，為什么一樣？ 我們還是要研究，而不是算。對吧，而這個 2 是什么呢？顯然是 (0)f 。這個時候就需要研究它是不是奇函數(shù)。因為首先要看函數(shù)整體，如果明明是個偶函數(shù)，還從負無窮到正無窮去研究它的單調(diào)性，那就顯得復雜了。如果我們當數(shù)學課是一種 類似英語一樣的 語言學科的話，那么學生沒讀懂函數(shù)符號，就等于完全沒學會數(shù)學的語言。然后學生便可以取以 1 為中點的兩個自變量， x 、 2x? 也行， 1x? 、 1x? 也可以，學生便可以真正體會 ()fx是關 于 1x? 對稱的。學生答的是 圖象 ，而最原始、最本質(zhì)的東西反而不知道。在談 集合 之間的關系的時候，無論是子集關系或者是真子集關系也好， 核心 都是元素，一個 集合 的元素和另外一個 集合 之間具備著什么關系。這種失敗就在于我們僅僅滿足于應試，滿足于一個好的分數(shù)，而沒有 教 給學生思維的方法。這次我稍作調(diào)整，從數(shù)學教學的這個層面和各位老師做一個交流，題目是“數(shù)學的思維特征與方法”。那么，什么才能叫做有用？我認為是教師教給他們的一種思維，這種思維能夠讓學生們建立起一種扎實的邏輯思維的基礎。 對學生數(shù)學能力的提高起決定作用的是學生的數(shù)學思維水平的提高，在這一點上，作為數(shù)學教師要有充分的認識 。 在函數(shù)的教學中如何體現(xiàn)函數(shù)的思維特征呢？關鍵是教學中要能夠揭示自變量是如何引起因變量變化的，要關注自變量以及因變量的關系 。就是 ()fx圖象關于 1x? 對稱，看著好像挺懸乎的，其實是自變量 x 取了兩個相反數(shù)，一個 1x? ，一個是 1x? ，函數(shù)值相等。如果你寫 1x? ，1x? ，可以，函數(shù)值還是相等的，這就是周期。一個是從解析式研究，一個是從圖象研究。單調(diào)性你知道，有沒有奇偶性呢 ？學生會發(fā)現(xiàn)自變量相反時 ，函數(shù)值相反 ， 這個時候可能更比單純的解這道題有價值。這樣的做法其實是把這個分段函數(shù)看成了兩個函數(shù)。 如果前面算一種解法的話，那我覺得 教師對 那種解法實際上是要持批判態(tài)度的 。 例題 5 已知函數(shù) ( ) cos ( )f x A x????的圖像如圖所示， 2()23f ? ??，則(0)f ? A． 23? B． 23 C． 12? D． 12 這道 高 考題非常好 ， 但是后來發(fā)現(xiàn)有的省市模仿這道題，就顯得不夠創(chuàng)新了，這個已經(jīng)很好的例子了。然后我們還是 看他的學案 ， 你會發(fā)現(xiàn)整節(jié)課他都是 讓學生觀察 圖形。說實話，這個課學 生還聽不出來呢，學生根本也不知道解析課應該是這樣上，還是那樣上， 但 是最為老師，必須要知道 。 其實如果從幾何的角度來看，直線在平面上，直線把平面呢分成了兩部分，分成了兩個區(qū)域。 別急著用弦長公式， 那么 O 點到 AB 距離，這才是最好用的一個辦法 , 12OC AB? 。這種快樂是思維的快樂，是邏輯的快樂。 我認為最關鍵的是教師要明白自己所教授的學科是怎么回事，要踏踏實實得研究所教授的數(shù)學，把數(shù)學中的每一塊知識搞明白，要做到這點就必須多思考。 教師應該啟發(fā)學生思考，而不是死記硬背 。 學生大多數(shù)時間是在埋頭做著學案上的習題，老師的講解很多時候是對著埋著頭的學生講，學生倒也配合，頭不抬也能和老師呼應一下 。 期間關于教育改革的爭論此起彼伏 。”我覺得這句話點出了教學的本質(zhì)。 數(shù)學的探究活動也是思維的活動，而要展開思維的活動，就如前面所說，最重要的是相互啟發(fā)！ 啟發(fā)式教學不是一種教學的模式，而是一種教學思想 、教學理念！這正是這種教學方式具有如此強大生命力之所在 。 很多時候數(shù)學學習是個人的行為，而不是合作學習所能辦到的 。 數(shù)學教師的責任不是教給學生一道又一道例題的不同的解法，也不在于教給學生對一道例題的多種不同的解法，而是要通過對不同的例題進行分析或者是對同一道例題的不同方法的探究，幫助學生形成一種觀念或者是一種意識 。 但是，如果計算機輔助教學用得不好，不恰當?shù)脑?，常常是適得其反 。其實推導完全可以用黑板的，干嘛非要用圖形計算器。 這些用最簡單的方式來到我們面前的茶，背后都有一種溫暖而讓人愉悅的茶藝 。 就像生產(chǎn)一杯標準武夷巖茶的十八個工序那樣，在模式化的教學方式下也許能夠產(chǎn)生一節(jié)符合這樣或那樣的“理念”的課堂，但想通過這樣的課堂誕生出一位優(yōu)秀的數(shù)學教師，通過這樣的課堂培養(yǎng)出具有良好思維品質(zhì)的學生，就只能是一種奢望了 。 6. 從茶藝想到教學藝術 有一位研究茶藝的女作家（代表作是《清茗》），寫了這樣一段文字，讓我有一許感觸 。 這樣做的教學效果就打了很大的一個折扣，違背了解析幾何的教學目標 。 目前在例題教學中存在的共性問題是教師所做的是在解題而不是解題分析；是在黑板上板演標準的習題的答案而不是在揭示思維的方法 。這種情景常常能夠出現(xiàn)在有人聽課的時候 。 我們常常能看到的是，老師在講課的過程中，提出了某一個問題，學生遲疑答不出來，這個時候老師的殺手锏就是“那就大家討論一下吧” 。我們?nèi)ネ獾芈犝n，常在走廊上觀察到老師對學生說“下節(jié)課好好表現(xiàn)啊”。 在學校中，沒有學術討論的空間，有些時候見識廣的領導成了學術的權威！我在自己的課堂上，是崇尚啟發(fā)式教學的，這也源于四中八年給我的教學風格打下的深深地烙印 。 而我們心目中的課堂，抽象看 ， 師生的思維是交織的；形象看 ， 師生的目光是交流的 。對學生來說，如果認為自己的主要任務就是接受和重復真理，這必然會導致他們思維的呆板與對教師和教材的迷信和盲從。因為老師的課堂話語中，“自變量”、“因變量”沒有出現(xiàn)多少次，而是一口一句“橫坐標”、“縱坐標”，他始終圍繞圖像講。我們的課堂教學不是為了把正確的解題過程或者正確的思想完全“復制”到學生的頭腦中。同樣你還是要找 A、 B 滿足的等量關系，也就是還是剛才的那個方程， 22ab??， 意味著什么呢？其實就是 a 不就是橫坐標，b 不就是縱坐標嗎，相當于這個點滿足 22 12yx ??，是個橢圓。所以在這個解析幾何的教學中，其實就像跟函數(shù)的教學類似，函數(shù)研究方法剛才我們談到，不管是給解析式，還是給圖象，你要干嗎呢？要研究性質(zhì)。從研究方法來來看，拿到一個幾何對象以后，我要進行代數(shù)化，要進行代數(shù)運算，那么怎么來 完成這個代數(shù)化 。其實從這個方程我們就可以看到，你把 x?代入方程的左端，方程還是成立， y? 也成立， ( , )xy?? 往里代還是成立。因為中心對稱都設計到兩個自變量是否關于那個點橫坐標對稱的問題，顯然，是以 712x ?? 為對稱?？粗芷诟陕锸?的，是為了化簡用，不是為了算。而 2 是誰呢？是 (0)f ， 圖都不用畫。 這個函數(shù)解析式 源自 山東的 09 年左右的一道高考 選擇題，是給了一個解析式，給了四個圖。還要研究函數(shù)的周期性，研究函數(shù)值的分布。如果這兩個自變量和為常數(shù)，比如說等于 2a ，那這個函數(shù)的圖像就關于直線 xa? 對稱；如果差為常數(shù)12x x T??，周期為 T ；如果 12( ) ( ) 2f x f x b??，這還是看自變量，我們在教學中引導學生盯住自變量。比如，認為非得套著 ( ) ( )f x f x T??，才把那個 T 對上，才知道那是周期。 這才是奇函數(shù)的本質(zhì)，或者說是它 的代數(shù)特征。 舉一個課例， 我們來探討一下這個課是簡潔還是簡單 。這樣一種教導，實際上就是引導學生靠“記”，靠“勤奮”來學習。 當前，社會更關注學生的分數(shù)，教師也更加在意學生是不是能取得一個比較滿意的成績。這樣的課堂沒有整體性， 更沒有思維的碰撞。這不僅是每一位老 師需要思考的，更是我們整個行業(yè)應該反思的。集合 本身 是一種 很重要 的數(shù)學 語言， 雖然概念比較簡單 ， 但是必須讓學生 感受到 里面蘊含的數(shù)學思維 。如果 ()fx滿足 ( ) ( )f x f x?? ，那么稱這個函數(shù)是偶函數(shù)。如果 寫(2 3 2) (2 3 )f x f x? ? ? ?那絕對是錯誤的。為什么產(chǎn)生了特值法，產(chǎn)生了特殊函數(shù)法，往往就是回避函數(shù)的符號語言，但是其實這樣的教學實際上是回避了教學的本質(zhì)。 學生還是以計算作為解決 數(shù)學問題的主要方法。 這里 也可以先問問學生，這個函數(shù)圖象分布在哪里，是依次向前都有，還是跟 x 軸有交點，還是僅在某一 象限， 這些都是很好的思維的素材。既然是奇函數(shù)的話 ，就可以利用對稱性幫助我們畫圖， 讓學生體會到研究函數(shù)性質(zhì)的價值在哪里。 例題 4 32()f x ax bx cx d? ? ? ?的 圖象 如圖所示，則 b 的值一定（ ） A．等于 0 B．大于 0 C．小于 0 D．小于或等于 0 像類似這樣的問題吧， 學生還是可能會算 ，算的做法是什么呢？ (0) 0f ? ，(2) 0f ? ， ( 2) 0f