蘇教版高中數(shù)學選修2-126曲線與方程2篇(專業(yè)版)
【正文】 軌跡的“純粹性”與“完備性” “曲線的方程與方程的曲線”的定義包 括兩個方面：一是曲線上點的坐標都是方程的解 ——— 稱為純粹性；二是以方程的解為坐標的點都在曲線上 ——— 稱為完備性．兩者缺一不可，否則就容易導(dǎo)致失誤． 例１ 方程 22( 2 ) 4 0x y x y? ? ? ? ?的曲線是（ ） Ａ．兩個點 Ｂ．一個圓 Ｃ．一條直線和一個圓 Ｄ．兩條射線和一個圓 解析：有不少同學由原方程直接得 20xy? ? ? 或 2240xy? ? ? ，從而誤選（Ｃ）． 以上解法忽視了定義域的限制，因此不符合軌跡的純粹性．事實上，直線 20xy? ? ?上的點并不都適合該曲線（必 須在圓 2240xy? ? ? 上或圓外才行）．故應(yīng)選（Ｄ）． 例 2 試求到兩坐標軸距離之差恒為 2的點的軌跡． 解析：設(shè) ()Px y， 為軌跡上任意一點，則 2xy??． 當 0x≥ ， 0y≥ 時，方程為 2xy? ?? ，此時軌跡為以 (20)(02)， ， ， 為端點，斜率為１的兩條射線； 當 00xy≤ ， ≥ 時，方程為 2xy? ?? ，此時軌跡為以 ( 20)(0 2)? ， ， ， 為端點，斜率為 1?的兩條射線； 當 00xy≤ ， ≤ 時，方程為 2yx? ?? ，此時軌跡為以 ( 2 0) (0 2)??， ， ， 為端點，斜率為１的兩條射線； 當 00xy≥ ， ≤ 時，方程為 2xy? ?? ，此時軌跡為以(2 0) (0 2)?， ， ， 為端點，斜率為 1? 的兩條射線． （曲線如右圖） 評注：求 軌跡的方程時，如果在軌跡條件解析化過程中忽視了方程變形的同解性，就可能破壞軌跡的純粹性和完備性．本題易犯以下兩方面的錯 誤：一、如將方程 2xy??兩邊平方，化為 2224x y xy? ? ?，即 22 42x y xy? ? ? ①，再兩邊平方得 2 2 2 2 2( 4) 4x y x y? ? ?，即 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 0x y x y x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ?②，從而誤認為軌跡為四條直線，就破壞了 軌跡的純粹性．這是因為方程①中 224xy??≥ 0，化為②后把 2240xy? ? ? 的區(qū)域的一些點也包括進去了；二、如果將點 ()Px y， 到 x軸的距離與到 y軸的距離誤認作
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