【正文】 y和 x，得軌跡方程 | 2xy??，則不但會破壞軌跡的純粹性，還 會破壞軌跡的 完備性 ——— 失去軌跡的四條 射線，同時多出兩條線段（即 以( 2 0) ( 0 2) ( 0 2) ( 2 0)??， ， ， ， ， ， ，為端點的兩條 線段）． 例 3 過原點作直線 l 與曲線 2 46y x x? ? ? 交于 A、 B 兩點，求線段 AB 的中點 M 的軌跡方程． 解析：設直線 l 的方程為 y kx? ，把它代入曲線方程 2 46y x x? ? ? 中，得2 ( 4 ) 6 0x k x? ? ? ?， 設 1 1 2 2( ) ( ) ( )A x y B x y M x y， ， ， ， ， 由根與系數的關系知 124x x k? ? ? ∴ 12 422xx kx ? ???， y kx? ，消去 k，得 224y x x??， 又由于直線與曲線有兩個交點， 所以 2(4 ) 24 0k? ? ? ? ?， 解得 4 2 6k ?? ? 或 4 2 6k ?? ? ． 由 42kx ?? ，得 6x?? 或 6x? ． 從而可得，線段 AB 的中點 M 的軌跡方程是 224y x x??（ 6x?? 或 6x? ）． 評注：求軌跡方程時，一定要清除“多余”，彌補“遺漏”，以保證相應軌跡的純粹性與完備性． 精析“曲線與方程” 一、曲線與方程的概念 1． 對概念的理解 平面直角坐標系建立以后，平面上的點 ， M 與實數對（ x， y）建立了一一對應關系，點的運動形成了曲線 C，與之對應的實數對的變化，就形成了方程 ( ) 0f x y ?， ． 這樣，在曲線與方程之間就形成了某種對應關系 ． 這種對應關系表現為： 如果曲線 C 上的點與方程 ( ) 0f x y ?， 的實數解建立了如下關系 ①曲線 C 上點的坐標 ()xy， 都是方程 ( ) 0f x y ?， 的解； ②以方程 ( ) 0f x y ?， 的解 ()xy， 為坐標的點都在曲線 C 上 ． 那么，方程 ( ) 0f x y ?， 叫做曲線 C 的方 程；曲線 C 叫做方程 ( ) 0f x y ?， 的曲線 ． 曲線與方程建立了上述嚴格的對應關系后，兩者就成為同一關系的兩種不同表達形式 ．