【正文】 方向距離 B 2km處 ， 河流沿岸 PQ(曲線 )上任意一點(diǎn)到 A的距離比到 B的距離遠(yuǎn) 曲線 PQ上選一處 M建一座碼頭 ， 向 B、C兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物 ． 經(jīng)測(cè)算 ， 從 M到 B、 C兩地修建公路的費(fèi)用都是 a萬(wàn)元 /km. 求： ( 1 ) 河流沿岸 PQ 所在的曲線方程； ( 2 ) 修建這兩條公路的總費(fèi)用的最小值 ． [ 答案 ] ( 1 ) x 2 － y23 ＝ 1( x ≥ 1) ( 2 ) ( 2 7 － 2) a 萬(wàn)元 [ 解析 ] ( 1 ) 如圖，以 AB 所在直線為 x 軸，以 AB 的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則 A ( － 2 , 0 ) ， B (2 ， 0) ． 根據(jù)題意，曲線 PQ 上任意一點(diǎn)到 A 的距離比到 B 的距離遠(yuǎn) 2 k m . 由此知河流沿岸 PQ 所在的曲線為雙曲線靠近 B 點(diǎn)的分支 ． 所以 c ＝ 2 ， a ＝ 1 ， b ＝ 3 ， 所以河流沿岸 PQ 所在的曲線的方程為 x2－y23＝ 1( x ≥ 1) ． ( 2 ) 因?yàn)閺?M 到 B 、 C 兩地修建公路的費(fèi)用都是 a 萬(wàn)元 / k m ，所以，要使修建這兩條公路的總費(fèi)用最小，只需 | MC |＋ | MB |最小，由雙曲線定義，有 | MB |＝ | MA |－ 2 ，也即 | MC |＋ | MA |－ 2 最小 ． 由圖易知，當(dāng) C 、 M 、 A 三點(diǎn)共線時(shí)， | MC |＋ | MA |－ 2 最小 ． 即(| MB |＋ | MC |)m i n＝ | AC |－ 2. 因?yàn)?C 地在 B 地的北偏東 3 0 176。 By ＝ 0 ，那么雙曲線的方程可設(shè)為 A2x2－ B2y2＝m ( m ≠ 0) ；與雙曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1 共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為x2a2－y2b2 ＝ λ ( λ ≠ 0) ． ( 1 ) 頂點(diǎn)間距離為 6 ，漸近線方程為 y ＝ 177。22x [答案 ] B [ 解析 ] 本題考查雙曲線的離心率及漸近線方程等幾何性質(zhì) ． 因?yàn)殡x心率 e ＝ 3 ，所以 c ＝ 3 a ，即 b ＝ 2 a ，由雙曲線的焦點(diǎn)在 x 軸上，所以漸近線方程為 y ＝ 177。abx 性 質(zhì) 離心率 e ＝ca， e ∈ (1 ，＋ ∞ ) x軸、 y軸 x軸、 y軸 (0,0) (0,0) 1. 雙曲線上兩個(gè)重要的三角形 ( 1 ) 實(shí)軸端點(diǎn)、虛軸端點(diǎn)及對(duì)稱中心構(gòu) 成一個(gè)直角三角形，邊長(zhǎng)滿足 c2＝ a2＋ b2，稱為雙曲線的特征三角形 ． ( 2 ) 焦點(diǎn) F 、過(guò) F 作漸近線的垂線，垂足為 D ，則 | OF |＝ c ，| FD |＝ b ， | OD |＝ a ， △ O FD 亦是直角三角形，滿足 | OF |2＝ | FD |2＋ | OD |2，也稱為雙曲線的特征三角形 ． ( 3 ) 實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)相等的雙曲線叫作等軸雙曲線，其離心率為 2 ，其兩條漸近線互相垂直 ． 2 ． ( 1 ) 雙曲線的漸近線中 “ 漸近 ” 的含義是：當(dāng)雙曲線的各支向外延伸，與這兩條直線逐漸接近，接近的程度是無(wú)限的；也可以這樣理解：當(dāng)雙曲線上的動(dòng)點(diǎn) M 沿著雙曲線無(wú)限遠(yuǎn)離雙曲線的中心時(shí)，點(diǎn) M 到這條直線的距離逐漸變小并且無(wú)限趨近于 0. ( 2 ) 雙曲線的漸近線的求法 由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求它的漸近線方程，最簡(jiǎn)單實(shí)用的方法是：把標(biāo)準(zhǔn)方程中的 “ 1 ” 用 “ 0 ” 替換，得出兩條直線方程，如雙曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1( a 0 ， b 0 ) 的漸近線方程為x2a2 －y2b2 ＝ 0 ，即 y ＝ 177。23x . 作草圖如圖： [ 方法規(guī)律總結(jié) ] 由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的有關(guān)性質(zhì)的步驟是：先將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式x2a2 －y2b2 ＝ 1( 或y2a2 －x2b2 ＝ 1) ，再根據(jù)它確定 a 、 b 的值 ( 注意它們的分母分別為 a b2，而不是 a 、 b ) ，進(jìn)而求出 c ，再對(duì)照雙曲線的幾何性質(zhì)得到相應(yīng)的答案 ． 畫幾何圖形，要先畫雙曲線的兩條漸近線 ( 即以 2 a 、2 b 為兩鄰邊的矩形對(duì)角線 ) 和兩個(gè)頂點(diǎn)，然后根據(jù)雙曲線的變化趨勢(shì)，就可畫出雙曲線的草圖 ． ( 2 0 1 4 e2＋ q 34x ，求雙曲線的離心率 ． [ 錯(cuò)解 ] 由題意得ba＝34， ∴b2a2 ＝916， ∴ 9 a2＝ 1 6 ( c2－ a2) ， ∴25 a2＝ 16 c2， ∴ e2＝2516， ∴ e ＝54. [ 辨析 ] 錯(cuò)解的原因是審題不認(rèn)真，誤認(rèn)為雙曲線y2a2 －x2b2 ＝1( a 0 ， b 0 ) 的漸近線方程為 y ＝ 177。 ac ＋ r 3 x ， ∴ d ＝32. 7． 雙曲線的一條漸近線方程是 3x＋ 4y＝ 0， 一個(gè)焦點(diǎn)是(4,0)， 則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ________． [ 答案 ] x 22 5 625－y 21 4 425＝ 1 [ 解析 ] ∵ 雙曲線的一條漸近線方程為 3 x ＋ 4 y ＝ 0 ， ∴ 設(shè)雙曲線的方程為x216－y29＝ λ ， 由題意知 λ 0 ， ∴ 16 λ ＋ 9 λ ＝ 16 ， ∴ λ ＝1625. ∴ 所求的雙曲線方程為x22 5 625－y21 4 425＝ 1. 課堂典例探究 求雙曲線 9y2－ 4x2＝－ 36的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、離心率和漸近線方程，并作出草圖． [分析 ] 將雙曲線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出 a、 b、 c的值，然后依據(jù)各幾何量的定義作答． 已知雙曲線的方程 ， 研究其幾何性質(zhì) [ 解析 ] 將 9 y2－ 4 x2＝－ 36 變形為x29－y24＝ 1 ， 即x232 －y222 ＝ 1 ， ∴ a ＝ 3 ， b ＝