【正文】 能否找到一個雙射 g:A?A，使出 g?IA ，但 g2=IA ？ 解： 定義函數(shù) f={ (1,3), (2,4), (3,2), (4,1) } ,顯然 f?IA ， 且 f是雙射。 因此N=N2=I=Q=?0 0 1 1 2 2 3 3… ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 2 3 4 5 6 7… 例 ２ 整數(shù)集Ｉ是可數(shù)集 。 故有 g= f 1 定理 設有函數(shù) f： A→B， 若有函數(shù) g： B→A， 使得 g?f＝ IA，f?g＝ IB， 則有 g＝ f 1 。 rfrr?? 111 )(r1當 r1 ≠ r2時 , 所以 f是內射。f 令 f(ai)=f(aj) =b,且令 g(b)=c, c jiaa?2022/8/31 32 (2) 因為 g?f 是滿射，所以對任一元素 c?C，必存在元素 a?A，使得 g?f(a)=c ， 而 g?f(a)= g(f(a))=c , (3) 由結論 (1)和 (2)直接推得 。f 3)(1)=f (f 3 (1))=f (4)=1, f 4 (2)=2, f 4 (3)=3, f 4 (4)=4 因此 f 4=IA， f 5= IA ???????? 是奇數(shù)是偶數(shù)iiiifIIf212:11? ? 152: 22 ??? rrfRRf2121323 ),(: nnnnfNNf ??nnfNNf 2)(: 44 ??(1) (2) (3) (4) 滿 雙 滿 內 2022/8/31 21 函數(shù)的復合運算 一、復合函數(shù) 定義 設有函數(shù) f： A →B和 g： B→C， f和 g的復合函數(shù)是一個由 A到 C的函數(shù)，記為 g?f。 2022/8/31 12 ? 例 2 對例 1中關系 ?的序偶進行調整或修改，使 f＝ {(1,2),(2,6),(3,6),(4,4)} 或 g={(1,3),(2,2),(3,6),(4,5)} 則 f和 g都是由 A到 B的函數(shù)。 為使函數(shù)概念適用范圍更加廣泛，人們對函數(shù)定義作了如下補充：“ 函數(shù) y=f(x)的自變量，可以不必取 [a,b]中的一切值，而可以僅取其任一部分 ” ，換句話說就是 x的取值可以是任意數(shù)集，這個集合中可以有有限個數(shù)、也可以有無限多個數(shù)，可以是連續(xù)的、也可以是離散的。 2022/8/31 5 ? 第一次擴張主要是解析擴張，提出了 “ 解析的函數(shù)概念 ” 。 英國數(shù)學家格雷果里在 1667年給出的函數(shù)的定義，被認為是函數(shù)解析定義的開始。 在這次函數(shù)概念的擴張中，十九世紀最杰出的法國數(shù)學家柯西在 1821年所著的 《 解析教程 》 中，給出了如下函數(shù)定義： “ 在某些變量間存在著一定的關系，當一經(jīng)給定其中某一變量的值，其他變量的值也隨之確定，則將最初的變量稱為自變量，其他各個變量稱為函數(shù) ” 。從而使函數(shù)概念擺脫了數(shù)的束縛，使得函數(shù)概念能廣泛地應用于數(shù)學的各個分支及其它學科中。 （ 2） 若對任意 b∈ B， 必存在 a∈ A， 使 f(a)=b， 則稱 f是A到 B的 滿射 。 2022/8/31 24 定理 設有函數(shù) f： A→B， g： B→C和 h： C→D，則有 h?(g?f)＝ (h?g)?f g 于是有 g?f(a)=g(f(a))=g(b)=c , 2022/8/31 30 例 5 設有函數(shù) f： I→I和 g： I→I （ I是整數(shù)集） f(x)=x32 , g(x)=x＋ 1, 試判斷 f, g, g?f是否內射 ,滿射或雙射。 g?f (3)= g?f (3)=11。 于是 f(a)=(f1)1(a),由 a的任意性知 f=(f1)1。 定義 如果集合 A與集合 Nm={1,2,…,m}(m 為某一正整數(shù) )同基 ,稱Ａ為 有限集 ,且 A=m. ?=0, ?也是有限集 ,不是有限集的集合稱為 無限集。 ( ) Y Y N N 練習 2022/8/31 55 1．關系 的素數(shù)的個數(shù) } 是否函數(shù)？ 解 因為小于 1和小于 2的素數(shù)的個數(shù)為 0，所以當 n1=1和 n1=2時在 N 中沒有象，因此不能構成函數(shù)。 f2022/8/31 63 作業(yè) ? p85 3 （ 1） （ 3） ? p86 15 17 ? p87 22 。 ( ) (3)C={2n|n?R}是可數(shù)集。 ( 2 ) 對稱性 : 對于任意集合 A、 B,若 A~B，則必有 B~A。 于是有 f1(b)= a,由 a 的任意性 , f 1是滿射。 解 (1) f不是內射。 (2) 對于集合 C中任一元素 c，必存在 b∈ B ，使得 g(b)=c。 IA IB A中 n個元素的取值方式是 種 , 因此由 A到 B的函數(shù)有 mn個 , ?? ??? ?? ?個n mmm ??? 記Ｂ A={f|f: A→B}, 則 (BA)=(B)A 2022/8/31 16 例 3 設 A={a, b, c}, B={1, 2}, 構造出所有由 A到 B的函數(shù) ,并驗證(BA)=(B)A 解 : 由 A到 B的函數(shù)如下 : f1={(a,1),(b,1),(c,1)} , f2={(a,1),(b,1),(c,2)} f3={(a,1),(b,2),(c,1)} , f4={(a,1),(b,2),(c,2)} f5={(a,2),(b,1),(c,1)} , f6={(a,2),(b,1),(c,2)} f7={(a,2),(b,2),(c,1)} , f8={(a,2),(b,2),(c,2)} 所以 (BA)=8 。 利用這一變量的定義，維布倫給出了近代函數(shù)定義： “ 設集合 X、 Y，如果 X中每一個元素 x都有 Y中唯一確定的元素 y與之對應，那么我們就把此對應叫做從集合 X到集合 Y的映射 ,記作 f： X?Y， y=f(x)”。 2022/8/31 7 ?函數(shù)概念的第三次擴張，樸素地反映了函數(shù)中的辯證因素，體現(xiàn)了 “ 自變 ” 到 “ 因變 ” 的生動過程。 2022/8/31 3 ? 函數(shù)概念的產(chǎn)生 恩格斯指出： “ 數(shù)學中的轉折點是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學；有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學 ” 。這里的 “ 任何方式 ” 包括了代數(shù)式子和超越式子。 2022/8/31 9 ? 函數(shù)概念的第五次擴張，提出了 “ 近代函數(shù)定義 ” 。 2022/8/31 13 ２ . 函數(shù)的定義域和值域