【正文】 即 QB⊥ AD， ∵ PA=PD， ∴ PQ⊥ AD， ∵ PQ∩ BQ=Q， ∴ AD⊥ 平面 PBQ， ∵ AD?平面 PAD， ∴ 平面 PQB⊥ 平面 PAD； （ 2）結(jié)論：當(dāng) M 是棱 PC 上靠近點(diǎn) C 的四等分點(diǎn)時(shí)有二面角 M﹣ BQ﹣ C 為 30176。． 理由如下： ∵ PA=PD， Q 為 AD 的中點(diǎn)， ∴ PQ⊥ AD， ∵ 平面 PAD⊥ 平面 ABCD，且平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD， ∴ PQ⊥ 平面 ABCD． 以 Q 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 QA、 QB、 QP 分別為 x、 y、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 Q﹣ xyz如圖， ∴ Q（ 0， 0， 0）， P（ 0， 0， ）， B（ 0， ， 0）， C（﹣ 1， ， 0）， 則平面 BQC 的一個(gè)法向量為 =（ 0， 0， 1）， 設(shè)滿足條件的點(diǎn) M（ x， y， z）存在， 則 =（ x， y， z﹣ ）， =（﹣ 1﹣ x， ﹣ y，﹣ z）， 令 =t ，其中 t＞ 0， ∴ ， ∴ ， 在平面 MBQ 中， =（ 0， ， 0）， =（﹣ ， ， ）， ∴ 平面 MBQ 的一個(gè)法向量為 =（ ， 0， t）， ∵ 二面角 M﹣ BQ﹣ C 為 30176。 ∴∠ AQB=90176。 ∴ cos30176。及線面垂直、面面垂直的判定定理即得結(jié)論； （ 2）以 Q 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 QA、 QB、 QP 分別為 x、 y、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系Q﹣ xyz，通過(guò)平面 BQC 的一個(gè)法向量與平面 MBQ 的一個(gè)法向量的夾角的余弦值為 ，計(jì)算即得結(jié)論． 【解答】 （ 1）證明： ∵ AD∥ BC， BC= AD， Q 為 AD 的中點(diǎn)， ∴ BC∥ DQ 且 BC=DQ， ∴ 四邊形 BCDQ 為平行四邊形， ∴ CD∥ BQ， ∵∠ ADC=90176。=| |= = ，解得 t=3， ∴ 滿足條件的點(diǎn) M 存在， M 是棱 PC 的靠近點(diǎn) C 的四等分點(diǎn)． 20．已知橢圓 ，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成面積為 的正三角形，過(guò)橢圓 C 的右焦點(diǎn)作斜率為 k（ k≠ 0）的直線 l 與橢圓 C 相交于 A、 B 兩點(diǎn)，線段 AB 的中點(diǎn)為 P． （ I）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ II）過(guò)點(diǎn) P 垂直于 AB 的直線與 x 軸交于點(diǎn) D，試求 的取值范圍． 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【分析】 （ I）由面積為 的正三角形的邊長(zhǎng) 為 2，即可求得 a 和 c 的值， b2=a2﹣ c2，即可求得橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ II）將直線方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得 P 點(diǎn)坐標(biāo)， 求得直線 PD 的方 程 及 D 點(diǎn) 坐 標(biāo)， 求 得丨 PD 丨 及丨 AB 丨，則，由 k 的取值范圍，即可求得 的取值范圍． 【解答】 解：（ Ⅰ ）設(shè)右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（ c， 0），易知面積為 的正三角形的邊長(zhǎng)為 2， 依題意知， ， ∴ b2=a2﹣ c2=3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 所以，橢圓 C 的方程為 ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （ Ⅱ ）設(shè)過(guò)橢圓 C 的右焦點(diǎn)的直線 l 的方 程為 y=k（ x﹣ 1）， 將其代入 中得，（ 3+4k2） x2﹣ 8k2x+4k2﹣ 12=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 其中， △ =144（ k2+1），設(shè) A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， 則 ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴ ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 因?yàn)?P 為線段 AB 的中點(diǎn)，所以，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ． 故點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 又直線 PD 的斜率為 ， 直線 PD 的方程為 ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 令 y=0 得， ，則點(diǎn) D 的坐 標(biāo)為 ， 所以， ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 又=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 所以， ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 又 ∵ k2+1＞ 1， ∴ ， ∴ ． 所以， 的取值范圍是 ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 21．設(shè)函數(shù) f（ x） =x2﹣ aln（ x+2），且 f（ x）存在兩個(gè)極值點(diǎn) x1， x2，其中 x1＜x2． （ I）求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ II）證明不等式： ． 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 【分析】 （ I）求導(dǎo)，由題意可知： 2x2+4x﹣ a=0 在（ ﹣ 2， +∞ ）內(nèi)有兩個(gè)不相等實(shí)根，構(gòu)造輔助函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)，即可求得實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ II ）由（ I ）可知，利用韋達(dá)定理，則，構(gòu)造輔助函數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，則 F（ x） ＜ F（ 1） =﹣ 1，即 ． 【解答】 解：（ Ⅰ ）由題意， ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∵ 函數(shù) f（ x）存在兩個(gè)極值點(diǎn) x1， x2，且 x1＜ x2， ∴ 關(guān)于 x 的方程 ， 即 2x2+4x﹣ a=0 在（﹣ 2， +∞ ）內(nèi)有兩個(gè)不相等實(shí)根．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 令 φ（ x） =2x2+4x﹣ a， 則 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 解得﹣ 2＜ a＜ 0．所以，實(shí)數(shù) a 的取值范圍（﹣ 2， 0）．﹣