【正文】 二項(xiàng)分布與泊松分布的 關(guān)系 ▲ （這是 1837 年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的 ） 比如： 由泊松分布的定義及泊松定理 可知 ： 當(dāng) 泊松分布是二項(xiàng)分布的 近似。 設(shè)每天出租汽車數(shù) X 是一個(gè)隨機(jī) 變量，它的概率分布如下： 求 : 因代營業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外 支出費(fèi)用的概率 . 例 4.XkP1 0 2 0 3 0 4 00 . 1 5 0 . 2 5 0 . 4 5 0 . 1 5概率統(tǒng)計(jì) 因?yàn)榧佑驼敬鸂I每出租一輛車，可得 3 元。 則 稱 這 n 次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。 如果時(shí)間區(qū)間充分小，事件出現(xiàn)兩次或兩次以 上的概率可忽略不計(jì)。 概率統(tǒng)計(jì) 這里 附表 3 沒有列入， n 確實(shí)很大時(shí)更進(jìn) 一步的計(jì)算將在 第五章 介紹 中心極限定理 之后 再來解決比較方便 . 50? ?若現(xiàn)將“ 每個(gè)人死亡的概率改為 ”，則 5? ?10 55( 1 0 )1 0 !ePX ????( 1 0) 1 ( 1 0)P X P X? ? ? ?0 .9 6 8 1 7?注： 從而： 1 0 510511 0 !ke ????? ?1 0 . 0 3 1 8 2 8??0 .0 1 8 1 3?9765625 3628800??概率統(tǒng)計(jì) 設(shè)有 80 臺同類型設(shè)備，各工作是相互獨(dú)立的， 發(fā)生故障的概率都是 ，且一臺設(shè)備的故障 能由一個(gè)人處理。概率統(tǒng)計(jì) 一 .離散型隨機(jī)變量的分布律 引例 如圖中所示，現(xiàn)從中任取 3 個(gè)球，取 到的白球數(shù) X 是一個(gè)隨機(jī)變量。 貝努利概型與古典 概型有何區(qū)別 ？ 注 貝努里概型對試驗(yàn)結(jié)果沒有等可能的要求，但要求 （ 1）每次試驗(yàn)條件相同，各次試驗(yàn)相互獨(dú)立 （ 2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果 A 或 A 且 ( ) , ( ) 1P A p P A p? ? ?129 5 53100( 2 ) CCPXC??概率統(tǒng)計(jì) 若一年中參加人壽保險(xiǎn)者里面每個(gè)人死亡的概率為 ，現(xiàn)有 10000個(gè)這類人參加人壽保險(xiǎn) . 試求：在未來一年中在這些保險(xiǎn)者里面 : (1).有 10人死亡的概率 (2).死亡人數(shù)不超過 10人的概率 . 設(shè) X: 在未來一年中這些保險(xiǎn)者中的死亡人數(shù) . ( 1 0 0 0 0 , 0 . 0 0 5 )XB～(1). 有 10人死亡的概率為： 1 0 1 0 9 9 9 010000( 1 0 ) (0 . 0 0 5 ) (0 . 9 9 5 )P X C??例 10. 解 : 顯然，這是 貝努利概型 . 則： 概率統(tǒng)計(jì) (2). 死亡人數(shù)不超過 10人的概率是 : 1010000100000( 1 0 ) ( 0 . 0 0 5 ) ( 0 . 9 9 5 )k k kkP X C ???? ?這些計(jì)算是非常麻煩的，現(xiàn)給出一個(gè)當(dāng) n 很大， p 很小時(shí)的近似計(jì)算公式，即二項(xiàng)分布的 Possion 逼近 . 泊松 (Possion) 定理 設(shè) 是一常數(shù)， ~ ( , ) ,X B n p0? ?li m ( )!knnePkk?? ????,nnP? ?且 則對任一固定的非負(fù)整數(shù) k 有： 概率統(tǒng)計(jì) 證明 : ( ) ( 1 )k k n kn n nP k C p p ???( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 )!k n kn n n kk n n?? ?? ? ?? ? ? ?( 1 )1 2 1[ 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ]!( 1 )nkkk nk n n nn?????? ? ? ? ? ??l i m ( )!knnePkk?? ?????[ ( 1 ) ]1 2 1[ 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ]!( 1 )nkkk nk n n nn?????????? ? ? ? ? ??e ???概率統(tǒng)計(jì) !k ek?? ?泊松定理中 的值 有表可查 例 11. 用泊松定理中的近似公式計(jì)算例 10 解： ( 1 ) 1 0 0 0 0 0 . 0 0 5 5 0? ? ?