【正文】 求（ 1）線段 AE 的長；（ 2）弓形 AFD的面積； ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ C O D P C B A O PD；（ 2）當(dāng) AD 與⊙ O2相切，且 PA = 6， PC = 2， PD = 12時，求 AD 的長； ⌒ ⌒ ⌒ O2 O1 E D C B A E （ 1）求證： CP∠ B =∠ C， EB = 1，△ ABC的面積為 S1，⊙ O的面積為 S2， S1∶ S2 = 25∶ 32π。 O 二、圓的計算問題 線段的計算問題 【例 1】（黃岡市， 1999）如圖，⊙ O 是以 AB 為直徑的△ ABC 的外接圓， D 是劣弧 BC 的中點，連 AD 并用處與過 C點的切線交于 P， OD與 BC相交于 E。求證：（ 1）△ ABD是等腰三角形；（ 2） CM 2 = CN CB； 1（寧夏自治區(qū)， 1997）如圖 ，△ ABC內(nèi)接于⊙ O， AE 切⊙ O于 A， BD平分∠ ABC交⊙ O于 D，交 AE 于 E， DF⊥ AE 于 F。 FK = AD FE。求證：（ 1） PA 2 = PE；（ 2）當(dāng)∠ A = 90176。 P D C B ⌒ ⌒ ⌒ D E C B A B A O1 O2D； 1（山西省， 2020）如圖，⊙ O1與⊙ O2相交于 A、 B， P是⊙ O1上的一點，連結(jié) PA、 PB并延長，分別交⊙ O2于 C、 D，點 E是 CD上的任意一點， PE分別交⊙ O⊙ O CD 于 F、 G、 H。（ 1）求證：∠ ACP = ∠ BCD；（ 2）若 PE是⊙ O的切線， E為切點。（ 1）求證： EF // BC；（ 2）求證： AB（ 1）求證： DE是⊙ O的切線；（ 2）求弦 AC 的長；（ 3）求直徑 AB 的 長； （新疆維吾爾族自治區(qū)， 1999）如圖，⊙ O和⊙ O′相交于 B、 C兩點， AB 是⊙ O的直徑， AC是⊙ O的弦，延長 AB 和 AC 分別交⊙ O′于 D、 E連點，連 DE， AF 是⊙ O′的切線， F為切點。 CE；（ 2）若 BD = 3 2 ，DE + CE = 12， ABAC = 32 ，求 DE。且 EC = CD，求⊙ O1的半徑； 13．（無錫市， 2020）如圖，弓形 AmB小于半圓，它所在圓的圓心為 O，半徑為 13，弦 AB 的長為 24； C是弦 AB 上的一動點（異于 A、 B），過 C作 AB 的垂線交 AB 于點 P，以 PC為直徑的圓交 AP 于點 D， E是 AP 的 中點，連結(jié) OE。 D （ 1）求證： PC是⊙ O的切線；（ 2）若 OE∶ EA = 1∶ 2， PA = 6，求⊙ O的半徑；（ 3）求 sin∠ PCA的值； 8．（廣州市， 1999）如圖，等邊三角形 ABC的面積為 S，⊙ O是它的外接圓，點 P 是 BC的中點。請回答：四邊形 BPAC 和 ⊙ O的面積哪一個大？請說明你的理由； 14．（黑龍江省， 2020）如圖，已知四邊形 ABCD 外接⊙ O 的半徑為 5，對角線 AC 與 BD的交點為，且 AB 2 = AE O是 AB 上一點，⊙ O切 BC于 D，切 AC 于 E， AC = b， BC = a。（ 1）求證：△ MCG∽△ MEC；（ 2）若EM⊥ CD，求 cos∠ FAK 的值； 3．（四川省， 1999）如圖， AD、 BC是⊙ O1的兩條弦，且 AD // BC，以 CD為直徑的⊙ O2交 BC于 E， AB = 6cm， BC = 14cm， S△ BCD = 21 3 cm 2。（ 1）點 P 在線段AB 上時，求證： PA P D C B A O2 O1 D F E C B A O′ O C N M A D C B O2 O1 E M D E F C B A 求證：（ 1）四邊形 ADEC是平行四邊形；（ 2） EG 2 = 18 CF 求證：（ 1）∠ DAP =∠ BAC；（ 2）△ PAC∽△ DAB；（ 3） PM 2 – PA 2 = AC求證 ：（ 1）∠ ABE =∠ AED；（ 2） AD 2 = EC （哈爾濱市， 2020）已知：如圖， CD 是△ ABC 外角∠ MCA 的平分線， CD 與三角形的外接圓交于點 D。 （二）線段比例關(guān)系的證明問題 【例 1】（鹽城市， 1997）如圖，兩圓內(nèi)切于 T，大圓的弦 AB 切小圓于 C， TA、 TB與小圓分別相交于 E、 F， FE的延長線交兩圓的公切線 TP于點 P。 AB；（ 2）∠ ACF =∠ AED。求證： EF 2FC 2 = TBTC ； （揚州市， 1997）如圖，以 O為圓心的兩個圓中，大圓的弦 AB 與小圓相切于 C， AD 與小圓相切與 D， DC的延長線與大圓相交于 E。 AD。 O2 O1 C B A P E D （ 1）求證： EF是⊙ O的切線；（ 2）求證： AE 2 = CDEF；（ 3）若 AB = 15， EF = 10，求 DC的長；