【正文】 DC→＝ 0 ? t ＝13. 即當 SE ∶ EC ＝ 2 ∶ 1 時， BE→⊥ DS→， 而 BE 不在平面 P A C 內(nèi)，故 BE ∥ 平面 P A C . 第 13講 │ 教師備用習題 3 ． 已知斜三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 ， ∠ BCA ＝90176。 n ＝ 0 ? ( t － 1 , 1 , 0 ) EA→1＝ 0 ， AF→? 1 ， 2 ， 3 ? ＝ x ＋ 2 y ＋ 3 z ＝ 0 ， 令 x ＝ 2 ，則 y ＝ 2 ， z ＝－ 2 3 ， ∴ n2＝ ( 2,2 ，－ 2 3 ) ， c os 〈 n1， n2〉＝2 0 ＋ 2 2 － 2 3 02 2 5＝55， 所以平面 CBD 與平面 D A E 所成銳二面角的余弦值為55. 教師備用習題 第 12講 │ 教師備用習題 1 ． [ 2010S △ABC＝13 第 11講 空間幾何體 第 12講 點、直線、平面之間的位置關(guān)系性質(zhì) 第 13講 空間向量與立體幾何 專題 4 立體幾何 專題 4 立體幾何 知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 專題 4 │ 知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 考情分析預(yù)測 專題 4 │ 考情分析預(yù)測 專題 4 │ 考情分析預(yù)測 專題 4 │ 考情分析預(yù)測 專題 4 │ 考情分析預(yù)測 專題 4 │ 考情分析預(yù)測 立體幾何是高考重點考查的內(nèi)容之一，主要考查的知識點是空間幾何體結(jié)構(gòu)特征、三視圖與直觀圖、空間點、線、面的位置關(guān)系、平行與垂直的判定、空間角與距離的計算．對空間想象能力、邏輯思維能力、運算能力有較高要求． 從近兩年的高考題來看，對這部分內(nèi)容，一般考查 1至 2 個小題， 1 道大題，小題多為中、低檔題；大題則多為中檔題，考查的熱點是三視圖、直線、平面平行與垂直的判定、空間角的計算及立體幾何的綜合應(yīng)用． 近兩年的考題控制了難度，對基礎(chǔ)的考查有所加強，向量方法在計算與證明中的作用較為突出，預(yù)測 201 1 年會延續(xù)這兩年考情， 考題難度不會加強，對三視圖及平行、垂直關(guān)系及角的計算還會重點考查． 第 11講 │ 空間幾何體 第 11講 空間幾何體 主干知識整合 第 11講 │ 主干知識整合 一、三視圖 一個幾何體的三視圖的排列規(guī)則是：俯視圖放在主視圖的下面，長度與主視圖的長度一樣，側(cè)視圖放在主視圖的右面，高度與主視圖的高度一樣．即 “ 長對正，高平齊，寬相等 ” ． 二、直觀圖 畫直觀圖時，與坐標軸平行的線段仍平行新的坐標軸；與 x 軸、 z 軸平行的線段長度不變，與 y 軸平行的線段長度減半． 第 11講 │ 主干知識整合 三、側(cè)面積與體積 1 ．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式 S圓柱側(cè)＝ 2π rl ( r 為底面半徑， l 為母線長 ) ， S圓錐側(cè)＝ π rl ( r 為底面半徑， l 為母線長 ) ， S圓臺側(cè)＝ π( r ′ ＋ r ) l ( r ′ 、 r 分別為上、下底的半徑， l 為母線長 ) ． 立體幾何 S球＝ 4π R2. 要注意它們的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)．扇形、扇環(huán)的面積公式分別類似于三角形、梯形的面積公式． 2 ． V柱＝ S S △A D E1 ＝12， 所以， VP A D C M＝ VP A D C B－ VM A C B＝12－16＝13， VP A D C M∶ VM A C B＝兩部分體積比為 2 ∶ 1. 規(guī)律技巧提煉 第 11講 │ 規(guī)律技巧提煉 1 ．關(guān)于三視圖的應(yīng)用，要善于觀察，善于想象，要從不同的角度去理解圖形的特點，三視圖之間的 規(guī)律是：正俯長對正，正側(cè)高平齊，俯側(cè)寬相等． 2 ．計算多面體表面積要弄清多面體各個面的形狀，然后逐個求出面積，再取和．計算旋轉(zhuǎn)體的表面 積，要注意合理運用公式計算，特別要熟悉它們的側(cè)面展開圖的形狀． 3 ．關(guān)于體積計算問題，要特別關(guān)注三棱錐體積的計算方法，注意靈活選擇底面． 4 ．有關(guān)球的組合體問題，作圖是難點，此時可不作出球的直觀圖，要注意給球定位、定量，球的位 置由球心確定，球的大小由半徑確定，還要注意有關(guān)的截面圖形特點． 第 12講 │ 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 第 12講 點、直線、平面 之間的位置關(guān)系 主干知識整合 第 12講 │ 主干知識整合 一、平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化 兩平面平行問題常常轉(zhuǎn)化為直線與平面的平行，而直線與平面平行又可轉(zhuǎn)化為直線與直線平行，所以要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，以下為三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖． 第 12講 │ 主干知識整合 二、解決平行問題時要注意以下結(jié)論的應(yīng)用 1 ．經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行． 2 ．兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任一直線必平行于另一個平面． 3 ．一條直線與兩平行平面中的一個相交，那么它與另一個也相交． 4 ．平行于同一條直線的兩條直線平行． 5 ．平行于同一個平面的兩個平面平行． 6 ．如果一條直線與兩個相交平面都平行，那么這條直線必與它們的交線平行． 第 12講 │ 主干知識整合 三、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 與平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化類似，它們之間的轉(zhuǎn)化如下示意圖． 在垂直的相關(guān)定理中，要特別注意記憶面面垂直的性質(zhì)定理：兩個平面垂直，在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線必垂直于另一個平面．當題目中有面面垂直的條件時，一般都要用此定理進行轉(zhuǎn)化． 要點熱點探究 第 12講 │ 要點熱點探究 ? 探究點一 線線、線面的平行與垂直的應(yīng)用 例 1 在直四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， AA 1 ＝2 ，底面是邊長為 1 的正方形， E 、 F 分別是棱 B 1 B 、DA 的中點． ( 1) 求證： BF ∥ 平面 AD 1 E ； ( 2) 求證： D 1 E ⊥ 平面 AEC . 圖 4－ 12－ 1 第 12講 │ 要點熱點探究 【解析】 ( 1) 方法一：取 DD1的中點 G ，連接 GB ， GF . ∵ E 、 F 分別是棱 BB DA 的中點， ∴ GF ∥ AD1， BE ∥ D1G 且 BE ＝ D1G ， ∴ 四邊形 BED1G 為平行四邊形， ∴ BG ∥ D1E . 又 D1E 、 D1A ? 平面 AD1E ， BG 、 GF ? 平面 AD1E ， ∴ BG ∥ 平面 AD1E ， GF ∥ 平面 AD1E . ∵ BG 、 GF ? 平面 B G F ，且 BG ∩ GF ＝ G ， ∴ 平面 B G F ∥ 平面 AD1E . ∵ BF ? 平面 B G F ， ∴ BF ∥ 平面 AD1E . 第 12講 │ 要點熱點探究 方法二： ( 1 ) 取 AD1的中點為 M ，連接 FM 、 EM ，則 FM ∥DD1，且 FM ＝12DD1，又因 BE ∥ DD1，且 BE ＝12DD1，則有 FM ∥BE 且 FM ＝ BE ， ∴ 四邊形 B E M F 為平行四邊形， ∴ BF ∥ EM ，又 ∵ BF ? 平面 AD1E ， EM ? 平面 AD1E ， ∴ BF ∥ 平面 AD1E . ( 2) ∵ AA1＝ 2 ， A1D1＝ 1 ， ∴ AD1＝ AA21＋ A1D21＝ 5 . 同理可得 AE ＝ 2 ， D1E ＝ 3 . ∵ AD21＝ D1E2＋ AE2， ∴ D1E ⊥ AE . 同理可證得 D1E ⊥ CE . 又 AE ∩ CE ＝ E ， AE ? 平面 AEC ， CE ? 平面 AEC ， ∴ D1E ⊥ 平面 AEC . 【 點評 】 證明線面平行有兩個途徑，一是由線線平行得到，另一個是由面面平行得到，它體現(xiàn)了三種關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的化歸思想．證明線面垂直道理一樣． 要點熱點探究 第 12講 │ 要點熱點探究 ? 探究點二 面面平行與垂直的應(yīng)用 例 2 如圖 4 － 12 － 2 所示，棱柱 ABCD －A 1 B 1 C 1 D 1 的底面 ABCD 為菱形，平面AA 1 C 1 C ⊥ 平面 ABCD . ( 1) 求證： BD ⊥ AA 1 ； ( 2) 求證：平面 AB 1 C ∥ 平面 DA 1 C 1 ； ( 3) 在直線 CC 1 上是否存在點 P ，使 BP ∥平面 DA 1 C 1 ？若存在，確定點 P 的位置；若不存在，說明理由． 圖 4－ 12－ 2 第 12講 │ 要點熱點探究 證明： ( 1) 連接 BD ， ∵ 面 ABCD 為菱形， ∴ BD ⊥AC ，由于平面 AA1C1C ⊥ 平面 ABCD ，則 BD ⊥ 平面AA1C1C ，又因 AA1? 平面 AA1C1C ，故 BD ⊥ AA1. ( 2) 連接 AB1， B1C ，由棱柱 ABCD － A1B1C1D1的性質(zhì)知 AB1∥ DC1，因 AB1? 平面 DA1C1， DC1? 平面DA1C1， AB1∥ 平面 DA1C1， 同理可證 B1C ∥ 平面 DA1C1，而 AB1∩ B1C ＝ B1， 由面面平行的判定定理知 平面 AB1C ∥ 平面 DA1C1 第 12講 │ 要點熱點探究 【 點評 】 面面的平行與線面的平行可等價轉(zhuǎn)化；同理 ， 面面的垂直與線面的垂直也可等價轉(zhuǎn)化；要注意判定定理與性質(zhì)定理的靈活應(yīng)用 ． 要點熱點探究 第 12講 │ 要點熱點探究 ? 探究點三 平面圖形的折疊問題 例 3 [ 2010 BE→＝－ 2 y1＋ 1 ＝ 0 ② n 江西卷 ] 如圖 4 － 13 － 7 所示 ， △ BCD 與 △ M C D 都是邊長為 2 的正三角形 ， 平面 M C D ⊥ 平面 BCD ， AB ⊥平面 BCD ， AB ＝ 2 3 . 求點 A 到平面 M B C 的距離 ． 圖 4－ 13－ 7 【解析】 取 CD 中點 O ，連 OB ， OM ，則 OB ⊥ CD ， OM⊥ CD ，又平面 M C D ⊥ 平面 BCD ，則 MO ⊥ 平面 B C D . 以 O 為原點，直線 OC 、 BO 、 OM 為 x 軸， y 軸， z 軸，建立空間直角坐標系如圖． OB ＝ OM ＝ 3 ，則各點坐標分別為 O ( 0,0,0 ) ， C ( 1,0, 0) ，M ( 0,0 ， 3 ) ， B (0 ，－ 3 ， 0) ， A (0 ，－ 3 ， 2 3 ) ， 設(shè) n ＝ ( x ， y ， z ) 是平面 M B C 的法向量， 則 BC→＝ (1 ， 3 ， 0) ， BM→＝ (0 ， 3 ， 3 ) ， 由 n ⊥ BC→得 x ＋ 3 y ＝ 0 ；由 n ⊥ BM→得 3 y ＋ 3 z ＝ 0 ；取 n ＝ ( 3 ，－ 1,1) ， BA→＝ ( 0,0,2 3 ) ，則距離 d ＝| BA→ 寧夏海南卷 ] 如圖，四棱錐 S － ABCD 的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的 2 倍， P 為側(cè)棱 SD 上的點． ( 1) 求證： AC ⊥ SD ； ( 2) 若 SD ⊥ 平面 P A C ， 求二面角 P － AC － D 的大小 ( 3) 在 ( 2) 的條件下，側(cè)棱 SC 上是否存在一點 E ，使得 BE ∥ 平面 P A C ． 若存在，求 SE ： EC 的值；若不存在， 試說明理由． 第 13講 │ 教師備用習題 【解答】 解法一： ( 1) 連接 BD ，設(shè) AC 交 BD 于 O ，由題意 SO ⊥ AC . 在正方形 ABCD 中， AC ⊥ BD ，所以 AC ⊥ 平面 S B D ，得 AC ⊥ SD . ( 2) 設(shè)正方形邊長