【正文】 ULDB GS 1)( ??? 0)d e t(111 ??? ???? niiiaLD由于 ))(d e t ()d e t ( 1????? LDIBI GS ??))(d e t ()d e t ( 1 ULDLD ???? ? ?我們只需要證明 的根 ，滿足 。 )( ijaA? ,2,1,0 nia ii ??? 證 由嚴格占優(yōu)矩陣的定義可知 若 A 奇異，則 有 使 Ax=0。由于 依賴于所選 擇的范數(shù)，而且 ，我們以 給出收斂速度的概念。 )0(x1)( ?B? 證 先證充分性。 ? ?)!(!/!,0 jkjkCIE jki ??? 由于 所以 的充分必要條件 是 。 式（ ）說明，若 但不接近 1 ，則當相鄰兩次迭代向量 和 很接近時， 與精確解很靠近。如果不存在排列陣 P 使 （ ）成立，則稱 A 為 不可約的 。 ULDA ??? 對 J法，迭代矩陣 ，易得 )(1 ULDBJ ?? ??????? ?ijj iiijniJ aaB,11m ax 。因此，由定理 5. 6又可知，若 ，則相應的 GS法也收斂。 )( ijaA? ,2,1,0 nia ii ??? 證 若有某個 ，由 A 的弱對角占優(yōu)性質(zhì)可知 A 的第 k行元素均 為零。 1)( ?B?例 證明用 J 法和 GS 法解下列方程組 ????????????????.132,12210321321321xxxxxxxxx必收斂，并比較滿足 的迭代次數(shù)。 *x1)( ?B? BI?0lim ??? kk B0lim )( ??? kk e *)(lim xx kk ???第五章線性方程組迭代解法 再證必要性。 一般迭代法的收斂性 第五章線性方程組迭代解法 證 根據(jù)距陣 Jordan 標準型的結(jié)論，對距陣 B ，存在非奇異距陣 P ，使得 ),( 211 rJJJd i a gJBPP ????其中 . 11in iniiiiJ?????????????????????顯然， , 11 ?? ?? PPJBP J PB KK).,( 21 krkkK JJJd i a gJ ??因此， 的充分必要條件是 0lim ??? kk B .,2,1,0lim riJ kik ?????)( nnRB ?? 定理 設(shè)距陣 ，則 的充分必要條件是 B 的 譜半徑 。而 一些矩陣范數(shù) 可以用 B 的元素表示，所以用 作為收斂的充分條 件較為方便。 )( JB? )( GSB?定義 若 滿足 nnij RaA ??? )(,2,1,1niaanijjijii ??? ???則稱 A 為 嚴格對角占優(yōu)矩陣 。在這種情況下迭代法的收斂性有如下定理。這說明只有當 時，才能使 。 第五章線性方程組迭代解法 若 不全相等，記