【正文】 第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 小結(jié)：給定 的特征值 的一個(gè)近似值 p， 求 p對(duì)應(yīng)的特征向量 (近似 )的步驟： nnRA ??j?jx第一步：將 (ApI)進(jìn)行 三角分解 (ApI)=LU， (或 P(ApI)=LU，其中 P為排列陣）． 第二步：由 Uv1=(1,1,… ,1)T， 解方程組求得 v1,u1， 其中 111m a x ( )vuv?第三步：由 LUv2=Pu1（或 LUv2=Pu1 ） ,解方程組求得 v2,u2， 其中 222m a x ( )vuv?1: , .m a x { }jk kpuv? ??第 四 步 對(duì) 應(yīng) 的 特 征 向 量 為第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 例 用反冪法求下列矩陣的接近于 p= (精確特征值 ),5()333 位浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行計(jì)算用及其特征向量???。 5/8 1 21/16 7/4 75/32 3 0 1/3 190。 對(duì) 冪 法 的 計(jì) 算 結(jié) 果 進(jìn) 行 外 推 加 速 ：3. Rayleigh商加速 12117 : : .. .. .. .( , ) ( 2 ( 3 .7 ) ),:定 理 設(shè) 為 對(duì) 稱(chēng) 矩 陣 ， 特 征 值 滿 足 。當(dāng)冪法是線性收斂的方法因此 12, ??一 個(gè) 補(bǔ) 救 的 辦 法 是 采 用 加 速 收 斂 的 方 法 。)( 111 kk x ??? ?????niikii x1??)m a x ( 11xx?ku)m a x ( 11xx?。 0vkAkv1?21 ??冪 法 的 收 斂 速 度 依 賴(lài) 于 比 值 ，比 值 越 小 ， 收 斂 越 快 。() () 第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 由 ()式知 ， 的收斂速度由比值 來(lái)確定 越小收斂越快 ， 但當(dāng) ≈ 1時(shí)收斂可能就很慢 . 11 )/()( ??? ikik vv21| / |r ???r21| / |r ???總結(jié)上述討論，有 定理 1設(shè) 有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 ， 主特征值 滿足 nnRA ?? n 1? ＞ ≥ ≥ … ≥ ， 1?2? 3? n?則對(duì)任何非零初始向量 ， 01( 0)va?均成立． 11() ,()kikivv??? 1 kxv?及第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 兩種特殊情況 1)121 2 11 1 21111111. 1, [ ( ) ( ) ],前 面 假 定 如 果 按 模 最 大 的 特 征 值 有 多 個(gè) ， 即冪 法 是 否 有 效 ？（ ） 是 重 根 ， 即 矩 陣 仍 有 個(gè) 線 性 無(wú)關(guān) 的 特 征 向 量 。當(dāng) )(0 ??? k???niiki xA1?第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 )m a x ( 010vAvAvkkk ??)m ax ( 111111????kkxx?????于是 ， )m a x ( kk v?? (2) 對(duì)迭代向量序列 : }{ kv))(m a x ()(11111111?? ???kkkkxx??????)m ax ()m ax (111111????kkxx?????即 絕對(duì)值最大的分量當(dāng) 時(shí) ， 趨向于特征根 。 下 面 簡(jiǎn) 要 的 介 紹 三 種 加 速 方 法 。對(duì) 應(yīng) 的 特 征 向 量 滿 足 ， 應(yīng) 用 冪 法 公 式 見(jiàn) 定 理 中 式計(jì) 算 的 主 特 征 值 則 規(guī) 范 化 向 量 的 商 給 出 的 較 好近 似nnni j ijkARxxA u R a y le ig h? ? ?????? ? ? ??2211( , ) ( ( ) ) ( )( , )kkkkkA u u Ouu????? 。 7/6 7/8 7/4 21/16 23/8 69/32 1v 2v0v 0y 1y4v3y2y3v1 , 2 , 3 )(i / )(3)(4 ?ii vv由于 的平均值之倒數(shù)為 而 A的按模最小特征值精確值為 可見(jiàn)已獲得了較好的特征值。???????????410131012A分解為解將用列選主遠(yuǎn)元的三角分解 pIA ?:,)( LUpIAP ??其中 。 kk yUv ?取 v0=u0,即選 u0使 Uv1=L1Pu0=(1,?,1) T,回代求解即求得 v1。 189。 1)()()(2)( ))()(()(2121 ?????????jkjkjkjkjkjkjk uuuuuuum a x ( )kkmv?記 。這時(shí)，接近于。 }{},{ kk vu 11 x及?,10 ???niii xv ?由于 0vAv kk ?及 ()其中 )m ax ( kkk vvu ?)0,( ??? kk ?時(shí)當(dāng)。11()()kikivv? ??1 kxv ?且 主 特 征 向 量 這種由已知非零向量 及矩陣 A的乘冪 構(gòu)造向量序列 { } 計(jì)算 A的主特征值 及相應(yīng)特征向量的方法稱(chēng)為 冪法 。 此 時(shí) 有 當(dāng) 然 ， 只 要 不 全 為 零mmm m nmkkmkkmnm n nmm A nv x xxx??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ??????????????? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?111( 1 ) ( )11112 ( )() ()， 當(dāng) 充 分 大 時(shí) ， 就 有因 也 是 矩 陣 相 應(yīng) 于 的 特 征 向 量 ， 故 有為 相 應(yīng) 的 特 征 向 量 ， 即 對(duì) 這 種 情 況 冪 法 仍 然 有 效 。 ??k 1?kvk?)(,1 ??? k當(dāng)?注意：改進(jìn)的冪法中主特征值 不是 兩相鄰迭代向量 的對(duì)應(yīng)非零分量的比值 。1. 原 點(diǎn) 平 移 法.)(, 為先定的參數(shù)引進(jìn)矩陣 ppIAB ??1 2 12, , ... .. , , ... . , , .nnA B pp p A B? ? ? ??????設(shè) 的 特 征 值 為 則 的 相 應(yīng) 的 特 征 值 為而 且 特 征 向 量 相 同第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 11,A p pB?? ?如 果 需 要 計(jì) 算 的 主 特 征 值 就 要 選 擇 使 仍為 的 主 特 征 值 且 使1212???? ???pp1B B pA? ?對(duì) 應(yīng) 用 冪 法 ， 使 得 在 計(jì) 算 的 主 特 征 值 的 過(guò) 程中 得 到 加 速 。 證 明 略第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 :商加速計(jì)算過(guò)程為因此 R a y l e i g h001()10( 3. 10 )m a x( )( , )( , )kkkkkk kkkkvuv AuvuvAu uuu????????????????第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 反冪法和原點(diǎn)位移 反冪法是計(jì)算矩陣按模最小的特征值及特征向量的方法，也是修正特征值、求相應(yīng)特征向量的最有效的方法。 ??133 0 .5 8 5 92276 7 1 2 2 3 2 2 7,)3 8 7 1 4 1 3 3( 三 個(gè) 比 值 ： ， ， 均 值 為第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 征值求指定點(diǎn)附近的某個(gè)特是利用“原點(diǎn)位移”，反冪法的一個(gè)重要應(yīng)用和對(duì)應(yīng)的特征向量。ULP???????????????????????????????????? 3102 9 4 0 7 3 2 17 3 2 ,12 6 8 0 3 2 010001,001100010第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 得由 TUv )1,1,1(1 ?1111(