【正文】 因?yàn)?，故的特解為，因此的通解為。解答?yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。（8）設(shè)來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記，則下列結(jié)論中不正確的是（　）。（15）（本題滿分10分）已知平面區(qū)域，計(jì)算二重積分.【答案】【解析】（16）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)滿足方程，其中.（Ⅰ）證明：反常積分收斂；（Ⅱ）若，求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）特征方程為，由可知，特征方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，即且，因此二階常系數(shù)齊次線性方程的解為：，故可得因此收斂.（Ⅱ）由，可得：，解得代入可得（17）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)滿足，且，是從點(diǎn)到點(diǎn)的光滑曲線，計(jì)算曲線積分，并求的最小值.【答案】3【解析】根據(jù)可得：又故可知，因此所以， 設(shè)，則有因此，因此積分與路徑無(wú)關(guān)故因?yàn)?，所以，令可得而，因此，因此?dāng)有最小值為.（18）（本題滿分10分）設(shè)有界區(qū)域由平面與三個(gè)坐標(biāo)平面圍成，為整個(gè)表面的外側(cè)，計(jì)算曲面積分.【答案】【解析】，令由高斯公式可知：（19）（本題滿分10分）已知函數(shù)可導(dǎo)，證明：（Ⅰ）級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；（Ⅱ）存在，且.【答案】利用絕對(duì)收斂定義證明即可。A. B. C. D. 【答案】A【解析】將代入微分方程可得： 而將代入微分方程可得：將這兩個(gè)式子相加可得：兩個(gè)式子相減可得：因此可得故選擇A.（4）已知函數(shù)，則（?。?。A. B. C. D. 【答案】C【解析】從0到時(shí)刻，甲乙的位移分別為與，由定積分的幾何意義可知，因此可知。（12）冪級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)=_________。【解析】略（19）（本題滿分10分）設(shè)薄片型物體時(shí)圓錐面被柱面割下的有限部分，其上任一點(diǎn)的弧度為，記圓錐與柱面的交線為，（Ⅰ）求在平面上的投影曲線的方程；（Ⅱ）求的質(zhì)量?；仡欉^(guò)去篇（19872014）1987年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,)(1)當(dāng)=_____________時(shí),函數(shù)取得極小值.(2)由曲線與兩直線及所圍成的平面圖形的面積是_____________.(3)與兩直線 及都平行且過(guò)原點(diǎn)的平面方程為_(kāi)____________. (4)設(shè)為取正向的圓周則曲線積分= _____________.(5)已知三維向量空間的基底為則向量在此基底下的坐標(biāo)是_____________.二、(本題滿分8分)求正的常數(shù)與使等式成立.三、(本題滿分7分)(1)設(shè)、為連續(xù)可微函數(shù)求(2)設(shè)矩陣和滿足關(guān)系式其中求矩陣四、(本題滿分8分)求微分方程的通解,其中常數(shù)五、選擇題(本題共4小題,每小題3分,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè)則在處(A)的導(dǎo)數(shù)存在,且 (B)取得極大值 (C)取得極小值 (D)的導(dǎo)數(shù)不存在(2)設(shè)為已知連續(xù)函數(shù)其中則的值(A)依賴于和 (B)依賴于、和(C)依賴于、,不依賴于 (D)依賴于,不依賴于(3)設(shè)常數(shù)則級(jí)數(shù)(A)發(fā)散 (B)絕對(duì)收斂 (C)條件收斂 (D)散斂性與的取值有關(guān) (4)設(shè)為階方陣，且的行列式而是的伴隨矩陣，則等于(A) (B)(C) (D) 六、（本題滿分10分）求冪級(jí)數(shù)的收斂域，并求其和函數(shù). 七、（本題滿分10分）求曲面積分其中是由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面,其法向量與軸正向的夾角恒大于 八、（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上可微,對(duì)于上的每一個(gè)函數(shù)的值都在開(kāi)區(qū)間內(nèi),且1,證明在內(nèi)有且僅有一個(gè)使得九、（本題滿分8分）問(wèn)為何值時(shí),現(xiàn)線性方程組有唯一解,無(wú)解,有無(wú)窮多解?并求出有無(wú)窮多解時(shí)的通解.十、填空題(本題共3小題,每小題2分,)(1)設(shè)在一次實(shí)驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率為現(xiàn)進(jìn)行次獨(dú)立試驗(yàn),則至少發(fā)生一次的概率為_(kāi)___________?！敬鸢浮浚á瘢┳C：因?yàn)?，由極限的局部保號(hào)性知，存在，使得，而，由零點(diǎn)存在定理可知，存在，使得。（11）若曲線積分在區(qū)域內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，則=_________?！敬鸢浮緿【解析】，因此代入可得，則有。A. 且B. 且C. 且D. 且【答案】C【解析】，而當(dāng)時(shí)收斂，而此時(shí)不影響，而當(dāng)時(shí)收斂，此時(shí)不影響，因此選擇C.（2）已知函數(shù)，則的一個(gè)原函數(shù)是（　）。（1）若函數(shù)在連續(xù)，則（?。?。二、填空題：9~14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上?！敬鸢浮?，【解析】因?yàn)?，所以，因此因此得：?6）（本題滿分10分）求【答案】【解析】由定積分的定義可知，然后計(jì)算定積分，（17）（本題滿分10分）已知函數(shù)由方程確定，求的極值。【答案】，正交矩陣【解析】二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)型為，所以，從而，即，代入得，解得；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，對(duì)應(yīng)的特征向量為；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，對(duì)應(yīng)的特征向量為；當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，對(duì)應(yīng)的特征向量為；從而正交矩陣?！窘馕觥浚á瘢┳C：因?yàn)橛腥齻€(gè)不同的特征值，所以不是零矩陣，因此，若，那么特征根0是二重根，這與假設(shè)矛盾，因此，又根據(jù)，所以，因此?！敬鸢浮?【解析】因此可得。（7）設(shè)A，B為隨機(jī)事件，若，且的充分必要條件是（?。.B.C.D.【答案】【解析】根據(jù)題意可知，因此有，因此可得，故可得相關(guān)系數(shù)為：二、填空題，9~14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答疑紙指定位置上.（9）________________.【答案】【解析】（10）向量場(chǎng)的旋度________________.【答案】【解析】由旋度公式可得（11）設(shè)函數(shù)可微，由方程確定，則________________.【答案】【解析】將兩邊分別關(guān)于求導(dǎo)可得：。A. 與相似B. 與相似C. 與相似D. 與相似【答案】C【解析】因?yàn)榕c相似，因此存在可逆矩陣，使得，于是有：，即，因此，因此，而C選項(xiàng)中，不一定等于，故C不正確，選擇C.（6）設(shè)二次型，則在空間直角坐標(biāo)系下表示的二次曲面為（?。. 不可逆B. 不可逆C. 不可逆D. 不可逆【答案】A【解析】因?yàn)榈奶卣髦禐?（n1重）和1，所以的特征值為1（n1重）和0，故不可逆。（13）設(shè)矩陣，為線性無(wú)關(guān)的3維向量，則向量組的秩為_(kāi)________?！窘馕觥浚á瘢┑姆匠虨?，投影到平面上為（Ⅱ），因此有。由于為離散型隨機(jī)變量，則由全概率公式可知（其中為的分布函數(shù)：）（23）（本題滿分11分）某工程師為了解一臺(tái)天平的精度，用該天平對(duì)一物體的質(zhì)量做次測(cè)量，該物體的質(zhì)量是已知的，設(shè)次測(cè)量結(jié)果相互獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布，該工程師記錄的是次測(cè)量的絕對(duì)誤差，利用估計(jì)（Ⅰ）求的概率密度；（Ⅱ）利用一階矩求的矩估計(jì)量；（Ⅲ）求的最大似然估計(jì)量。對(duì)關(guān)于再次求導(dǎo)得：，將代入可得當(dāng)時(shí)，時(shí)，代入可得，當(dāng)時(shí)，時(shí)，代入可得，因此有函數(shù)的極大值為，極小值為。（10）微分方程的通解為=_________。A. B. C. D. 【答案】C【解析】令，則有，故單調(diào)遞增，則，即，即，故選擇C。歷年考研數(shù)學(xué)一真題19872017（答案+解析）（經(jīng)典珍藏版）最近三年+回顧過(guò)去最近三年篇（20152017）2015年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題 1—8小題．每小題4分，共32分．１．設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，其二階導(dǎo)數(shù)的圖形如右圖所示，則曲線在的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【詳解】對(duì)于連續(xù)函數(shù)的曲線而言，拐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)等于零或者不存在．從圖上可以看出有兩個(gè)二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，以及一個(gè)二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)．但對(duì)于這三個(gè)點(diǎn)，左邊的二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)的兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)都是正的，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不是拐點(diǎn)．而另外兩個(gè)點(diǎn)的兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)是異號(hào)的，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)才是拐點(diǎn)，所以應(yīng)該選（C）2．設(shè)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個(gè)特解，則 （A） （B）（C） （D）【詳解】線性微分方程的特征方程為，由特解可知一定是特征方程的一個(gè)實(shí)根．如果不是特征方程的實(shí)根，則對(duì)應(yīng)于的特解的形式應(yīng)該為，其中應(yīng)該是一個(gè)零次多項(xiàng)式，即常數(shù)，與條件不符，所以也是特征方程的另外一個(gè)實(shí)根，這樣由韋達(dá)定理可得，同時(shí)是原來(lái)方程的一個(gè)解，代入可得應(yīng)該選（A）３．若級(jí)數(shù)條件收斂，則依次為級(jí)數(shù)的（Ａ）收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn) （Ｂ）收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)(Ｃ）發(fā)散點(diǎn)，收斂點(diǎn) （Ｄ）發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)【詳解】注意條件級(jí)數(shù)條件收斂等價(jià)于冪級(jí)數(shù)在處條件收斂，也就是這個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂為，即，所以的收斂半徑，絕對(duì)收斂域?yàn)?，顯然依次為收斂點(diǎn)、發(fā)散點(diǎn)，應(yīng)該選（B）４．設(shè)D是第一象限中由曲線與直線所圍成的平面區(qū)域，函數(shù)在D上連續(xù)，則（ ） （Ａ）（Ｂ）　　　?。ǎ茫。ǎ模　驹斀狻糠e分區(qū)域如圖所示，化成極坐標(biāo)方程：也就是D：所以，所以應(yīng)該選（B）．5．設(shè)矩陣，若集合，則線性方程組有無(wú)窮多解的充分必要條件是（A） （B）（C） （D）【詳解】對(duì)線性方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換：方程組無(wú)窮解的充分必要條件是，也就是同時(shí)成立，當(dāng)然應(yīng)該選（D）．6．設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為，其中，若，則在下的標(biāo)準(zhǔn)形為（A） （B）（C） （D） 【詳解】，所以故選擇（A）．7．若為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則（ ）（A） （B） （C） （D）【詳解】所以故選擇（C）．8．設(shè)隨機(jī)變量不相關(guān)，且，則（ ）（A） （B） （C） （D）【詳解】故應(yīng)該選擇（D）．二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）9． 【詳解】．10． ．【詳解】只要注意為奇函數(shù)，在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上積分為零，所以11．若函數(shù)是由方程確定，則 ．【詳解】設(shè)，則且當(dāng)時(shí)，所以也就得到12．設(shè)是由平面和三個(gè)坐標(biāo)面圍成的空間區(qū)域，則 ．【詳解】注意在積分區(qū)域內(nèi)，三個(gè)變量具有輪換對(duì)稱(chēng)性，也就是13．階行列式 ．【詳解】按照第一行展開(kāi)，得，有由于，得．14．設(shè)二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則 ．【詳解】由于相關(guān)系數(shù)等于零，所以X，Y都服從正態(tài)分布，且相互獨(dú)立．則．三、解答題15．（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)，在時(shí)為等價(jià)無(wú)窮小，求常數(shù)的取值．【詳解】當(dāng)時(shí)，把函數(shù)展開(kāi)到三階的馬克勞林公式，得由于當(dāng)時(shí)，是等價(jià)無(wú)窮小，則有，解得，16．（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在定義域上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對(duì)任意的，曲線在點(diǎn)處的切線與直線及軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且，求的表達(dá)式．【詳解】在點(diǎn)處的切線方程為令，得曲線在點(diǎn)處的切線與直線及軸所圍成區(qū)域的面積為整理，得，解方程，得，由于，得所求曲線方程為17．（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)，曲線，求在曲線上的最大方向?qū)?shù)．【詳解】顯然．在處的梯度在處的最大方向?qū)?shù)的方向就是梯度方向，最大值為梯度的模所以此題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在條件下的條件極值．用拉格朗日乘子法求解如下：令解方程組，得幾個(gè)可能的極值點(diǎn)，進(jìn)行比較，可得，在點(diǎn)或處，方向?qū)?shù)取到最大，為18．（本題滿分10分）（1）設(shè)函數(shù)都可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明；（2）設(shè)函數(shù)都可導(dǎo)，寫(xiě)出的求導(dǎo)公式．【詳解】（1）證明：設(shè)由導(dǎo)數(shù)的定義和可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系（2）19．（本題滿分10分）已知曲線L的方程為，起點(diǎn)為，終點(diǎn)為，計(jì)算曲線積分．【詳解】曲線L的參數(shù)方程為起點(diǎn)對(duì)應(yīng)，終點(diǎn)為對(duì)應(yīng)．20．（本題滿分11分）設(shè)向量組為向量空間的一組基，．（1）證明：向量組為向量空間的一組基；（2）當(dāng)為何值時(shí)，存在非零向量，使得在基和基下的坐標(biāo)相同，并求出所有的非零向量【詳解】（1），因?yàn)?，且顯然線性無(wú)關(guān)，所以是線性無(wú)關(guān)的，當(dāng)然是向量空間的一組基．（2）設(shè)非零向量在兩組基下的坐標(biāo)都是，則由條件可整理得：，所以條件轉(zhuǎn)化為線性方程組存在非零解．從而系數(shù)行列式應(yīng)該等于零，也就是由于顯然線性無(wú)關(guān)，所以，也就是．此時(shí)方程組化為，由于線性無(wú)關(guān)，所以，通解為，其中為任意常數(shù)．所以滿足條件的其中為任意不為零的常數(shù)．21．（本題滿分11分）設(shè)矩陣相似于矩陣．（1）求的值；（2）求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣．【詳解】（1）因?yàn)閮蓚€(gè)矩陣相似，所以有，．也就是．（2）由，得A，B的特征值都為解方程組，得矩陣A的屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量為；解方程組得矩陣A的屬于特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量為令，則22．（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為對(duì)X進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測(cè)，直到第2個(gè)大于3的觀測(cè)值出現(xiàn)時(shí)停止，記為次數(shù)．求的分布函數(shù)；