【正文】 在△BPO和△B′PO中，∴△BPO≌△B′PO（ASA），∴BO=B′O=1，設直線AP解析式為y=kx+b，把A、B′兩點坐標代入可得，解得，∴直線AP解析式為y=x+1，聯立，解得，∴P點坐標為（，）；若P點在x軸下方時，同理可得△BOP≌△B′OP，∴∠BPO=∠B′PO，又∠B′PO在∠APO的內部，∴∠APO≠∠BPO，即此時沒有滿足條件的P點，綜上可知P點坐標為（，）；（3）如圖2，作QH⊥CF，交CF于點H，∵CF為y=x﹣，∴可求得C（，0），F（0，﹣），∴tan∠OFC==，∵DQ∥y軸，∴∠QDH=∠MFD=∠OFC，∴tan∠HDQ=，不妨設DQ=t，DH=t，HQ=t，∵△QDE是以DQ為腰的等腰三角形，∴若DQ=DE，則S△DEQ=DE?HQ=tt=t2，若DQ=QE，則S△DEQ=DE?HQ=2DH?HQ=tt=t2，∵t2＜t2，∴當DQ=QE時△DEQ的面積比DQ=DE時大．設Q點坐標為（x，x2+2x﹣3），則D（x，x﹣），∵Q點在直線CF的下方，∴DQ=t=x﹣﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣x+，當x=﹣時，tmax=3，∴（S△DEQ）max=t2=，即以QD為腰的等腰三角形的面積最大值為．【點評】本題主要考查二次函數的綜合應用，涉及知識點有待定系數法、角平分線的定義、全等三角形的判定和性質、三角形的面積、等腰三角形的性質、二次函數的性質及分類討論等．在（2）中確定出直線AP的解析式是解題的關鍵，在（3）中利用DQ表示出△QDE的面積是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，計算量大，難度較大．8．已知拋物線y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m與x軸相交于不同的兩點A、B（1）求m的取值范圍；（2）證明該拋物線一定經過非坐標軸上的一點P，并求出點P的坐標；（3）當＜m≤8時，由（2）求出的點P和點A，B構成的△ABP的面積是否有最值？若有，求出該最值及相對應的m值．【分析】（1）根據題意得出△=（1﹣2m）2﹣4m（1﹣3m）=（1﹣4m）2＞0，得出1﹣4m≠0，解不等式即可；（2）y=m（x2﹣2x﹣3）+x+1，故只要x2﹣2x﹣3=0，那么y的值便與m無關，解得x=3或x=﹣1（舍去，此時y=0，在坐標軸上），故定點為（3，4）；（3）由|AB|=|xA﹣xB|得出|AB|=|﹣4|，由已知條件得出≤＜4，得出0＜|﹣4|≤，因此|AB|最大時，||=，解方程得出m=8，或m=（舍去），即可得出結果．【解答】（1）解：當m=0時，函數為一次函數，不符合題意，舍去；當m≠0時，∵拋物線y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m與x軸相交于不同的兩點A、B，∴△=（1﹣2m）2﹣4m（1﹣3m）=（1﹣4m）2＞0，∴1﹣4m≠0，∴m≠，∴m的取值范圍為m≠0且m≠；（2）證明：∵拋物線y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m，∴y=m（x2﹣2x﹣3）+x+1，拋物線過定點說明在這一點y與m無關，顯然當x2﹣2x﹣3=0時，y與m無關，解得：x=3或x=﹣1，當x=3時，y=4，定點坐標為（3，4）；當x=﹣1時，y=0，定點坐標為（﹣1，0），∵P不在坐標軸上，∴P（3，4）；（3）解：|AB|=|xA﹣xB|=====||=|﹣4|，∵＜m≤8，∴≤＜4，∴﹣≤﹣4＜0，∴0＜|﹣4|≤，∴|AB|最大時，||=，解得：m=8，或m=（舍去），∴當m=8時，|AB|有最大值，此時△ABP的面積最大，沒有最小值，則面積最大為：|AB|yP=4=．【點評】本題是二次函數綜合題目，考查了二次函數與一元二次方程的關系，根的判別式以及最值問題等知識；本題難度較大，根據題意得出點P的坐標是解決問題的關鍵．9．如圖，拋物線y=ax2+bx+2經過點A（﹣1，0），B（4，0），交y軸于點C；（1）求拋物線的解析式（用一般式表示）；（2）點D為y軸右側拋物線上一點，是否存在點D使S△ABC=S△ABD？若存在請直接給出點D坐標；若不存在請說明理由；（3）將直線BC繞點B順時針旋轉45176。與拋物線交于另一點E，求BE的長．10．(2018深圳)已知拋物線y1=﹣x2+mx+n，直線y2=kx+b，y1的對稱軸與y2交于點A（﹣1，5），點A與y1的頂點B的距離是4．（1）求y1的解析式；（2）若y2隨著x的增大而增大，且y1與y2都經過x軸上的同一點，求y2的解析式．11．(2018廣州)已知頂點為A拋物線經過點，點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，直線AB與x軸相交于點M，y軸相交于點E，拋物線與y軸相交于點F，在直線AB上有一點P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面積；（3）如圖2，點Q是折線A﹣B﹣C上一點，過點Q作QN∥y軸，過點E作EN∥x軸，直線QN與直線EN相交于點N，連接QE，將△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若點N1落在x軸上，請直接寫出Q點的坐標．12．已知拋物線y=x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．（1）證明：該拋物線與x軸總有兩個不同的交點；（2）設該拋物線與x軸的兩個交點分別為A，B（點A在點B的右側），與y軸交于點C，A，B，C三點都在⊙P上．①試判斷：不論m取任何正數，⊙P是否經過y軸上某個定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，說明理由；②若點C關于直線x=﹣的對稱點為點E，點D（0，1），連接BE，BD，DE，△BDE的周長記為l，⊙P的半徑記為r，求的值．廣東中考數學第23題集參考答案與試題解析一．解答題（共12小題）1．如圖，已知頂點為C（0，﹣3）的拋物線y=ax2+b（a≠0）與x軸交于A，B兩點，直線y=x+m過頂點C和點B．（1）求m的值；（2）求函數y=ax2+b（a≠0）的解析式；（3）拋物線上是否存在點M，使得∠MCB=15176。得出DE是⊙P的直徑，進而求出BE=2n，DE=n，即可得出結論．【解答】解：（1）令y=0，∴x2+mx﹣2m﹣4=0，∴△=m2﹣4[﹣2m﹣4]=m2+8m+16，∵m＞0，∴△＞0，∴該拋物線與x軸總有兩個不同的交點；（2）令y=0，∴x2+mx﹣2m﹣4=0，∴（x﹣2）[x+（m+2）]=0，∴x=2或x=﹣（m+2），∴A（2，0），B（﹣（m+2），0），∴OA=2，OB=m+2，令x=0，∴y=﹣2（m+2），∴C（0，﹣2（m+2）），∴OC=2（m+2），①通過定點（0，1）理由：如圖，∵點A，B，C在⊙P上，∴∠OCB=∠OAF，在Rt△BOC中，tan∠OCB===，在Rt△AOF中，tan∠OAF===，∴